হোম / বই / নবম দশম শ্রেণী / উচ্চতর গণিত / সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন /
লগারিদম
/ অনুশীলনী
  1. \( \left\{ \left(x^{\frac{1}{a}}\right)^{\tfrac{a^2 - b^2}{a - b}} \right\}^{\!\tfrac{a}{a + b}} \) এর সরল মান কোনটি?
    1. (ক) 0
    2. (খ) 1
    3. (গ)\( \ a\)
    4. (ঘ)\( \ x\)
  2. যদি \( a,\ b, \ c > 0\) এবং \( a \ne1, \ b \ne1 \) হয়, তবে
    1. (ক) \( \log_{a}{P} = \log_{b}{P} \times \log_{a}{b}\)
    2. (খ) \( \log_a{\sqrt{a} \times } \log_b{\sqrt{b} \times }\log_c{\sqrt{c} }\) এর মান \( 2 \)
    3. (গ) \( x^{\log_ay} = y^{\log_ax} \)

    নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) i ও ii
    2. (খ) ii ও iii
    3. (গ) i ও iii
    4. (ঘ) i, ii ও iii

    3. ৩-৫ প্রশ্নের উত্তর দাও যখন \( x, \ y, \ z \ne 0 \) এবং \( a^x= b^y=c^z \)

  3. কোনটি সঠিক?
    1. (ক) \( a= b^{\frac{y}{z} }\)
    2. (খ) \( a= c^{\frac{z}{y} }\)
    3. (গ) \( a= c^{\frac{z}{x} }\)
    4. (ঘ)\( \ a \ne \dfrac{b^2}{c} \)
  4. নিচের কোনটি \(ac\) এর সমান?
    1. (ক) \(b^{\tfrac{y}{x}} \cdot b^{\tfrac{y}{x}}\)
    2. (খ) \(b^{\tfrac{y}{x}} \, b^{\tfrac{z}{y}}\)
    3. (গ) \(b^{\tfrac{y}{z} + \tfrac{z}{y}}\)
    4. (ঘ) \(b^{\tfrac{z}{y} + \tfrac{y}{z}}\)
  5. \(b^2 = a c\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{y}\)
    2. (খ) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{z}\)
    3. (গ) \(\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{x}\)
    4. (ঘ) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{z}{2}\)
  6. দেখাও যে —
    1. (ক) \(\log_k\!\left(\dfrac{a^n}{b^n}\right) + \log_k\!\left(\dfrac{b^n}{c^n}\right) + \log_k\!\left(\dfrac{c^n}{a^n}\right) = 0\)
    2. (খ) \(\log_k(ab)\log_k\!\left(\dfrac{a}{b}\right) + \log_k(bc)\log_k\!\left(\dfrac{b}{c}\right) + \log_k(ca)\log_k\!\left(\dfrac{c}{a}\right) = 0\)
    3. (গ) \(\log_{\sqrt{a}} b \times \log_{\sqrt{b}} c \times \log_{\sqrt{c}} a = 8\)
    4. (ঘ) \(\log_b \log_a \log_c \left(a^{a^{a^b}}\right) = b\)
    1. (ক) যদি \(\dfrac{\log_k a}{b - c} = \dfrac{\log_k b}{c - a} = \dfrac{\log_k c}{a - b}\)  হয়, তবে দেখাও যে \(a^{a^2} b^{b^2} c^{c^2} = 1\)। 

      (খ) যদি \(\dfrac{\log_k a}{y - z} = \dfrac{\log_k b}{z - x} = \dfrac{\log_k c}{x - y}\)  হয়, তবে দেখাও যে : 
      (১) \(a^{y + z} b^{z + x} c^{x + y} = 1\) 
      (২) \(a^{y^2 + yz + z^2} \cdot b^{z^2 + zx + x^2} \cdot c^{x^2 + xy + y^2} = 1\)। 

      (গ) যদি \(\dfrac{\log_k(1 + x)}{\log_k x} = 2\) হয়, তবে দেখাও যে \(x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)। 

      (ঘ) দেখাও যে \(\log_k \dfrac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = 2\log_k (x - \sqrt{x^2 - 1})\)। 

      (ঙ) যদি \(a^{3 - x} b^{5x} = a^{5 + x} b^{3x}\) হয়, তবে দেখাও যে \(x \log_k \dfrac{b}{a} = \log_k a\)। 

      (চ) যদি \(xy^{a - 1} = p, xy^{b - 1} = q, xy^{c - 1} = r\) হয়,  তবে দেখাও যে \((b - c)\log_k p + (c - a)\log_k q + (a - b)\log_k r = 0\)। 

      (ছ) যদি \(\dfrac{a b \log_k(ab)}{b + c} = \dfrac{b c \log_k(bc)}{c + a} = \dfrac{c a \log_k(ca)}{a + b}\) হয়,  তবে দেখাও যে \(a^a = b^b = c^c\)। 

      (জ) যদি \(\dfrac{a(y + z - x)}{\log_k x} = \dfrac{y(z + x - y)}{\log_k y} = \dfrac{z(x + y - z)}{\log_k z}\) হয়,  তবে দেখাও যে \(x^y y^x = y^zz^y = x^z z^x\)।
  8. রেখাচিত্র অঙ্কন কর —
    1. (ক) \(y = 3^x\)
    2. (খ) \(y = -3^x\)
    3. (গ) \(y = 3^{x + 1}\)
    4. (ঘ) \(y = 3^{-x + 1}\)
    5. (ঙ) \(y = 3^{x - 1}\)
  9. নিচের ফাংশনের বিপরীত ফাংশন লিখ এবং রেখাচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর —
    1. (ক) \(y = 1 - 2^x\)
    2. (খ) \(y = \log_{10} x\)
    3. (গ) \(y = x^2,\; x > 0\)
  10. \(f(x) = \ln(x - 2)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f\) এবং রেঞ্জ \(R_f\) নির্ণয় কর।
  11. \(f(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
  12. ডোমেন এবং রেঞ্জ উল্লেখসহ রেখাচিত্র অঙ্কন কর —
    1. (ক) \(f(x) = x,\; যখন -5 \le x \le 5\)
    2. (খ) \(f(x) = |x|,\; যখন -2 \le x \le 2\)
    3. (গ) \(f(x) = \begin{cases} x, & \text{যখন } x \ne 0 \\ 0, & \text{যখন } x = 0 \end{cases}\)
  13. দেওয়া আছে, \(2^{2x} \cdot 2^{y - 1} = 64 \; \text{...(i)}\) এবং \(6^x \cdot \dfrac{6^{y - 2}}{3} = 72 \; \text{...(ii)}\)

    (ক) (i) ও (ii) কে \(x\) ও \(y\) চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণে পরিণত কর। 
    (খ) সমীকরণদ্বয় সমাধান করে শুদ্ধতা যাচাই কর। 
    (গ) \(x\) এবং \(y\) এর মান যদি একটি চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (যেখানে বাহুগুলোর অন্তর্ভুক্ত কোণ \(90^\circ\)) তবে চতুর্ভুজটির আয়তন না বর্গ উল্লেখ কর এবং তার ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
  14. দেওয়া আছে, \(y = 2^x\) 

    (ক) প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। 
    (খ) ফাংশনটির রেখাচিত্র অঙ্কন কর এবং এর বৈশিষ্ট্যাবলী লিখ। 
    (গ) ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করে এটি এক‑এক কিনা তা নির্ধারণ কর এবং বিপরীত ফাংশনটির রেখাচিত্র আঁক।
  15. \(f(x) = 3^{2x + 2}\) এবং \(g(x) = 27^{x + 1}\) 

    (ক) \(f(x)\) এর ডোমেন নির্ণয় কর। 
    (খ) যদি \(f(x) + g(x) = 36\) হয়, তবে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। 
    (গ) যদি \( q(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)} \) হয়,  তবে \(q(x)\) এর রেখাচিত্র অঙ্কন করে রেখাচিত্র থেকে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ
সূত্র