৭.১ অসীম ধারা (Infinite Series)

অনুক্রম (Sequence) হলো সংখ্যার একটি সুশৃঙ্খল বিন্যাস যেখানে প্রতিটি সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে। যখন এই সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয় করা হয়, তাকে ধারা (Series) বলে। এই অধ্যায়ে আমরা অসীম ধারার সীমা, জ্যামিতিক ধারার সমাকলন (Summation to Infinity), গুণোত্তর-গাণিতিক ধারা (Arithmetico-Geometric Series) এবং বিশেষ ধারার যোগফল নির্ণয়ের সূত্রাবলী আলোচনা করব।

মৌলিক সংজ্ঞা (Basic Definitions)

১. অনুক্রম (Sequence)

সংখ্যার এমন একটি সজ্জা যেখানে প্রতিটি পদ একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে এবং প্রথম পদের পরবর্তী প্রতিটি পদই তার পূর্ববর্তী পদের উপর নির্ভরশীল, তাকে অনুক্রম বলে।

সাধারণত \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এখানে \( a_n \) হলো \( n \)-তম পদ বা সাধারণ পদ।

২. ধারা (Series)

একটি অনুক্রমের পদগুলোর যোগফলকে ধারা বলে।

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{r=1}^{n} a_r$$

৩. সীমিত ও অসীম ধারা (Finite and Infinite Series)

  • সীমিত ধারা: নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ বিশিষ্ট ধারা। যেমন: \( 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) \) (পর্যন্ত \( n \) পদ)।
  • অসীম ধারা: অসীম সংখ্যক পদ বিশিষ্ট ধারা। যেমন: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \) (শেষ নেই)।

৪. অগ্রগতি (Progression)

একটি বিশেষ ধরনের অনুক্রম যেখানে পদগুলোর মধ্যে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে, তাকে অগ্রগতি বলে। প্রধান তিনটি প্রকার:

  • সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression - AP)
  • গুণোত্তর প্রগতি (Geometric Progression - GP)
  • হরণোত্তর প্রগতি (Harmonic Progression - HP)

সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression - AP)

যে অনুক্রমে প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করে পাওয়া যায়, তাকে সমান্তর প্রগতি বলে। ঐ ধ্রুবককে সাধারণ অন্তর (Common Difference, \( d \)) বলে।

$$a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$$

মূল সূত্রাবলী

  • \( n \)-তম পদ: $$a_n = a + (n-1)d$$
  • প্রথম \( n \) পদের যোগফল: $$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$$ অথবা $$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$$ যেখানে \( l \) হলো শেষ পদ (\( n\)-তম পদ)।
  • সমান্তর মধ্যা (Arithmetic Mean): দুটি সংখ্যা \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে সমান্তর মধ্যা \( = \frac{a+b}{2} \)।

গুণোত্তর প্রগতি (Geometric Progression - GP)

যে অনুক্রমে প্রতিটি পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক সংখ্যা গুণ করে পরবর্তী পদ পাওয়া যায়, তাকে গুণোত্তর প্রগতি বলে। ঐ ধ্রুবককে সাধারণ অনুপাত (Common Ratio, \( r \)) বলে।

$$a, ar, ar^2, ar^3, \dots$$

মূল সূত্রাবলী

  • \( n \)-তম পদ: $$a_n = ar^{n-1}$$
  • প্রথম \( n \) পদের যোগফল (\( r \neq 1 \)): $$S_n = a\frac{r^n - 1}{r - 1} \quad \text{(যখন } r > 1\text{)}$$ অথবা $$S_n = a\frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{(যখন } r < 1\text{)}$$
  • গুণোত্তর মধ্যা (Geometric Mean): দুটি ধনাত্মক সংখ্যা \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে গুণোত্তর মধ্যা \( = \sqrt{ab} \)।

অসীম গুণোত্তর ধারার সমাকলন (Sum to Infinity)

যখন একটি অসীম গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত \( r \) এর মান \( -1 \) ও \( 1 \) এর মধ্যে থাকে, অর্থাৎ \( |r| < 1 \), তখন ধারাটি অভিসারী (Convergent) বলে এবং এর একটি সীমাবদ্ধ যোগফল থাকে।

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}, \quad \text{যেখানে } |r| < 1$$

⚠️ শর্ত: \( |r| \geq 1 \) হলে ধারাটি অপসারী (Divergent) হয় এবং এর কোনো সীমাবদ্ধ যোগফল থাকে না (অর্থাৎ \( S_{\infty} \) সংজ্ঞায়িত নয়)।

উদাহরণ ১:

ধারা \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \) এর যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

এখানে \( a = 1 \), \( r = \frac{1}{2} \)

যেহেতু \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), সুতরাং সমাকলন সীমা আছে।

$$S_{\infty} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

সমাকলন যোগফল \( = 2 \)

উদাহরণ ২ (পুনরাবৃত্ত দশমিক):

\( 0.\overline{3} = 0.333\dots \) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর কর।

সমাধান:

$$0.\overline{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$$

এটি একটি GP যেখানে \( a = 0.3 = \frac{3}{10} \), \( r = 0.1 = \frac{1}{10} \)

$$S_{\infty} = \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

সুতরাং \( 0.\overline{3} = \frac{1}{3} \)

গুণোত্তর-গাণিতিক ধারা (Arithmetico-Geometric Series - AGP)

যে ধারার প্রতিটি পদ একটি সমান্তর প্রগতি ও একটি গুণোত্তর প্রগতির সংশ্লিষ্ট পদের গুণফলের সমান, তাকে গুণোত্তর-গাণিতিক ধারা (AGP) বলে।

সাধারণ রূপ: $$a, (a+d)r, (a+2d)r^2, (a+3d)r^3, \dots$$

যেখানে \( a, a+d, a+2d, \dots \) একটি AP এবং \( 1, r, r^2, r^3, \dots \) একটি GP।

প্রথম \( n \) পদের যোগফল

AGP এর যোগফল নির্ণয়ের কৌশল: \( S_n \) এর সাথে \( r \) দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত ফলাফল থেকে \( S_n \) বিয়োগ করা (ভুলক্রমে বিয়োগ পদ্ধতি)।

$$S_n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2} - \frac{[a+(n-1)d]r^n}{1-r}, \quad (r \neq 1)$$

আরও সংক্ষিপ্ত রূপ: $$S_n = \frac{a - [a+(n-1)d]r^n}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}$$

অসীম AGP এর সমাকলন

যখন \( |r| < 1 \), তখন \( n \to \infty \) হলে \( r^n \to 0 \) এবং \( nr^n \to 0 \)।

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}, \quad \text{যেখানে } |r| < 1$$

উদাহরণ:

ধারা \( 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \dots \) এর অসীম যোগফল নির্ণয় কর। (\( |x| < 1 \))

সমাধান:

এখানে AP: \( 1, 3, 5, 7, \dots \) (\( a=1, d=2 \))

GP: \( 1, x, x^2, x^3, \dots \) (\( r=x \))

$$S_{\infty} = \frac{1}{1-x} + \frac{2 \cdot x}{(1-x)^2} = \frac{1-x+2x}{(1-x)^2} = \frac{1+x}{(1-x)^2}$$

বিশেষ ধারার যোগফল (Summation of Series)

সিগমা নোটেশন (\( \sum \) Notation)

ধারার যোগফলকে সংক্ষেপে লেখার প্রতীক: $$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

প্রধান যোগফল সূত্রাবলী

ধারা যোগফল (\( S_n \))
প্রথম \( n \)টি প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল
\( \sum_{k=1}^{n} k \)		 $$\frac{n(n+1)}{2}$$
প্রথম \( n \)টি প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গের যোগফল
\( \sum_{k=1}^{n} k^2 \)		 $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
প্রথম \( n \)টি প্রাকৃতিক সংখ্যার ঘনের যোগফল
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 \)		 $$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \left(\sum k\right)^2$$

পদের পার্থক্য বিশ্লেষণ পদ্ধতি (Method of Differences)

যখন একটি ধারার পদগুলোকে দুটি অনুক্রমের পার্থক্য হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তখন যোগফল নির্ণয় সহজ হয় (টেলিস্কোপিং সিরিজ)।

যোগফল নির্ণয় করুন: \( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \)

সমাধান:

প্রতিটি পদকে লেখা যায়: \( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \)

সুতরাং: $$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$

মধ্যবর্তী পদগুলো বাতিল হয়ে যায় (টেলিস্কোপিং):

$$S = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

হরণোত্তর প্রগতি (Harmonic Progression - HP)

যে অনুক্রমের পদগুলোর বিপরীত সংখ্যাগুলো একটি সমান্তর প্রগতি গঠন করে, তাকে হরণোত্তর প্রগতি বলে।

যদি \( a, b, c, \dots \) একটি HP হয়, তবে \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \dots \) একটি AP।

হরণোত্তর মধ্যা (Harmonic Mean - HM)

দুটি সংখ্যা \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে হরণোত্তর মধ্যা: $$H = \frac{2ab}{a+b}$$

\( n \)টি সংখ্যার জন্য HM হলো তাদের বিপরীত সংখ্যাগুলোর AM এর বিপরীত।

AM, GM, HM এর সম্পর্ক: দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জন্য \( AM \geq GM \geq HM \)।
অর্থাৎ \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b} \)

সংক্ষিপ্ত সারাংশ

  • AP: \( a_n = a+(n-1)d \), \( S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d] \)
  • GP: \( a_n = ar^{n-1} \), \( S_n = a\frac{r^n-1}{r-1} \) (\( r \neq 1 \))
  • অসীম GP: \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \), শর্ত \( |r| < 1 \)
  • অসীম AGP: \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2} \), শর্ত \( |r| < 1 \)
  • যোগফল সূত্র:
    • \( \sum n = \frac{n(n+1)}{2} \)
    • \( \sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
    • \( \sum n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \)
  • HP: বিপরীতগুলো AP। দুই সংখ্যার HM \( = \frac{2ab}{a+b} \)
  • সম্পর্ক: \( AM \times HM = (GM)^2 \) (দুই সংখ্যার ক্ষেত্রে)
সূত্র অনুশীলনী