১৩.১ ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry) হলো জ্যামিতির সেই শাখা যা ত্রিমাত্রিক বস্তু বা ঘনবস্তুর আকৃতি, আকার, আয়তন এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নিয়ে আলোচনা করে। এই অধ্যায়ে আমরা বিভিন্ন প্রকার ঘনবস্তু যেমন— প্রিজম (Prism), পিরামিড (Pyramid), বেলন (Cylinder), শঙ্কু (Cone) এবং গোলক (Sphere) এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ের সূত্রাবলী বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
প্রিজম (Prism)
সংজ্ঞা:
যে ঘনবস্তুর দুটি সমতল ভূমি সমান্তরাল এবং সমান এবং অপরাপর বাহুগুলো ভূমির উপর লম্ব, তাকে প্রিজম বলে। প্রিজমের ভূমি যেকোনো বহুভুজাকার হতে পারে (ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ ইত্যাদি)।
প্রিজমের উচ্চতা \( h \) হলো দুই ভূমির মধ্যকার লম্ব দূরত্ব।
প্রিজমের প্রকারভেদ
- ত্রিভুজাকার প্রিজম (Triangular Prism): ভূমি ত্রিভুজাকার। তলের সংখ্যা \( 5 \) (দুই ত্রিভুজাকার ভূমি + তিনটি আয়তাকার পার্শ্বতল)।
- চতুর্ভুজাকার প্রিজম (Quadrangular Prism): ভূমি চতুর্ভুজাকার। তলের সংখ্যা \( 6 \)।
- ঘনক (Cube): একটি বিশেষ প্রিজম যার ভূমি বর্গাকার এবং উচ্চতা বাহুর সমান।
- ঘনাবৃত্ত (Cuboid): ভূমি আয়তাকার প্রিজম।
সূত্রাবলী
ধরি প্রিজমের ভূমির ক্ষেত্রফল \( = B \), উচ্চতা \( = h \), এবং পার্শ্বতলের পরিসীমা \( = P \)।
- পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল (Lateral Surface Area): \[ A_{\text{lateral}} = P \times h \]
- সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area): \[ A_{\text{total}} = 2B + Ph \]
- আয়তন (Volume): \[ V = B \times h \]
উদাহরণ:
একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলো \( 5 \) সেমি, \( 12 \) সেমি, \( 13 \) সেমি এবং উচ্চতা \( 10 \) সেমি হলে এর আয়তন ও সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রথমে ভূমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যেহেতু \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \), সুতরাং এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\[ B = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \] বর্গসেমি।
পার্শ্বতলের পরিসীমা \( P = 5 + 12 + 13 = 30 \) সেমি।
আয়তন \( V = B \times h = 30 \times 10 = 300 \) ঘনসেমি।
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল \( = 2B + Ph = 2(30) + 30(10) = 60 + 300 = 360 \) বর্গসেমি।
পিরামিড (Pyramid)
সংজ্ঞা:
যে ঘনবস্তুর একটি বহুভুজাকার ভূমি থাকে এবং ভূমির প্রতিটি শীর্ষবিন্দু একটি নির্দিষ্ট শীর্ষবিন্দুর সাথে যুক্ত হয়ে ত্রিভুজাকার পার্শ্বতল গঠন করে, তাকে পিরামিড বলে।
পিরামিডের উচ্চতা \( h \) হলো শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।
পিরামিডের প্রকারভেদ
- ত্রিভুজাকার পিরামিড (Triangular Pyramid): ভূমি ত্রিভুজাকার। তলের সংখ্যা \( 4 \)।
- চতুর্ভুজাকার পিরামিড (Square Pyramid): ভূমি বর্গাকার। তলের সংখ্যা \( 5 \) (একটি বর্গ + চারটি ত্রিভুজ)।
- নি-ভুজাকার পিরামিড: ভূমি \( n \)-ভুজাকার হলে তলের সংখ্যা \( n + 1 \)।
সূত্রাবলী
ধরি পিরামিডের ভূমির ক্ষেত্রফল \( = B \), উচ্চতা \( = h \), এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি \( = M \) (যাকে বলা হয় ম্যান্টেলা বা বক্রপৃষ্ঠ)।
- পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল: \[ A_{\text{lateral}} = M \] (প্রতিটি ত্রিভুজাকার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের যোগফল)
- সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: \[ A_{\text{total}} = B + M \]
- আয়তন: \[ V = \frac{1}{3} B h \]
উদাহরণ:
একটি বর্গাকার পিরামিডের ভূমির বাহু \( 6 \) সেমি এবং উচ্চতা \( 4 \) সেমি হলে এর আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান:
ভূমির ক্ষেত্রফল \( B = 6^2 = 36 \) বর্গসেমি।
\[ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48 \] ঘনসেমি।
বেলন (Cylinder)
সংজ্ঞা:
যে ঘনবস্তু দুটি সমান্তরাল সমতল বৃত্তাকার ভূমি দ্বারা সীমাবদ্ধ এবং বক্রপৃষ্ঠ দ্বারা পরিবেষ্টিত, তাকে বেলন বলে। বেলনের উচ্চতা \( h \) হলো দুই ভূমির মধ্যকার লম্ব দূরত্ব এবং ব্যাসার্ধ \( r \)।
সূত্রাবলী
- বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area): \[ A_{\text{curved}} = 2\pi r h \]
- সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: \[ A_{\text{total}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r) \]
- আয়তন: \[ V = \pi r^2 h \]
- অর্ধবেলন (Hollow Cylinder): বহিঃব্যাসার্ধ \( R \), অন্তঃব্যাসার্ধ \( r \) হলে:
- বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \( = 2\pi h(R + r) \)
- আয়তন \( = \pi h(R^2 - r^2) = \pi h(R+r)(R-r) \)
উদাহরণ:
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ \( 7 \) সেমি এবং উচ্চতা \( 10 \) সেমি হলে এর বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর। \( \left(\pi = \frac{22}{7}\right) \)
সমাধান:
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440 \) বর্গসেমি।
আয়তন \( = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 = \frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 1540 \) ঘনসেমি।
শঙ্কু (Cone)
সংজ্ঞা:
যে ঘনবস্তুর একটি বৃত্তাকার ভূমি এবং একটি বিন্দুগত শীর্ষ আছে এবং বক্রপৃষ্ঠ দ্বারা পরিবেষ্টিত, তাকে শঙ্কু বলে। শঙ্কুর উচ্চতা \( h \), ব্যাসার্ধ \( r \), এবং তির্যক উচ্চতা (slant height) \( l \)।
সম্পর্ক: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]
সূত্রাবলী
- বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল: \[ A_{\text{curved}} = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \]
- সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: \[ A_{\text{total}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r) \]
- আয়তন: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
উদাহরণ:
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \( 3 \) সেমি এবং উচ্চতা \( 4 \) সেমি হলে এর তির্যক উচ্চতা, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান:
তির্যক উচ্চতা \( l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) সেমি।
বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \( = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \) বর্গসেমি।
আয়তন \( = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi \) ঘনসেমি।
গোলক (Sphere)
সংজ্ঞা:
যে ঘনবস্তুর সমস্ত বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত, তাকে গোলক বলে। ঐ সমান দূরত্বকে ব্যাসার্ধ \( r \) বলে।
সূত্রাবলী
- পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: \[ A = 4\pi r^2 \]
- আয়তন: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
অর্ধগোলক (Hemisphere)
গোলককে বৃহৎ বৃত্ত দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত করলে প্রতিটি অংশকে অর্ধগোলক বলে।
- বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল: \( 2\pi r^2 \)
- সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (ভূমি সহ): \( 3\pi r^2 \)
- আয়তন: \( \frac{2}{3} \pi r^3 \)
উদাহরণ:
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ \( 7 \) সেমি হলে এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর। \( \left(\pi = \frac{22}{7}\right) \)
সমাধান:
পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \( = 4 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 49 = 616 \) বর্গসেমি।
আয়তন \( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 343 = \frac{4 \times 22 \times 49}{3} = \frac{4312}{3} \approx 1437.33 \) ঘনসেমি।
যৌগিক ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল ও আয়তন
কোনো ঘনবস্তু অন্য এক বা একাধিক ঘনবস্তুর সমন্বয়ে গঠিত হতে পারে। এ ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হলে সংযুক্ত তলগুলো বাদ দিয়ে বাইরের তলগুলোর ক্ষেত্রফলের যোগফল নির্ণয় করতে হবে।
উদাহরণস্বরূপ
- বেলনের উপর শঙ্কু বসানো: সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল \( = \) বেলনের বক্রপৃষ্ঠ \( + \) শঙ্কুর বক্রপৃষ্ঠ \( + \) বেলনের ভূমি (উপরের ভূমি বাদ)।
- শঙ্কুর ভেতরে গোলক: আয়তন \( = \) শঙ্কুর আয়তন \( - \) গোলকের আয়তন।
- প্রিজমের উপর পিরামিড: উচ্চতা \( = \) প্রিজমের উচ্চতা \( + \) পিরামিডের উচ্চতা।
উদাহরণ:
একটি ঘনকের প্রতিটি বাহু \( 4 \) সেমি। এর উপর একটি অর্ধগোলক বসানো আছে যার ব্যাস ঘনকের বাহুর সমান। সম্পূর্ণ বস্তুর আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান:
ঘনকের আয়তন \( = 4^3 = 64 \) ঘনসেমি।
অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ \( r = \frac{4}{2} = 2 \) সেমি।
অর্ধগোলকের আয়তন \( = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (2)^3 = \frac{16\pi}{3} \) ঘনসেমি।
সম্পূর্ণ আয়তন \( = 64 + \frac{16\pi}{3} \) ঘনসেমি।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
| ঘনবস্তু | বক্রপৃষ্ঠ/পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল | সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল | আয়তন |
|---|---|---|---|
| ঘনক (Cube) বাহু \( a \) | \( 4a^2 \) | \( 6a^2 \) | \( a^3 \) |
| ঘনাবৃত্ত (Cuboid) \( l \times b \times h \) | \( 2h(l+b) \) | \( 2(lb + bh + hl) \) | \( lbh \) |
| বেলন (Cylinder) ব্যাসার্ধ \( r \), উচ্চতা \( h \) | \( 2\pi rh \) | \( 2\pi r(r+h) \) | \( \pi r^2 h \) |
| শঙ্কু (Cone) ব্যাসার্ধ \( r \), উচ্চতা \( h \), তির্যক \( l \) | \( \pi rl \) | \( \pi r(l+r) \) | \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \) |
| গোলক (Sphere) ব্যাসার্ধ \( r \) | \( 4\pi r^2 \) | \( 4\pi r^2 \) | \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) |
| অর্ধগোলক (Hemisphere) ব্যাসার্ধ \( r \) | \( 2\pi r^2 \) | \( 3\pi r^2 \) | \( \frac{2}{3}\pi r^3 \) |
| প্রিজম (Prism) ভূমি \( B \), উচ্চতা \( h \), পরিসীমা \( P \) | \( Ph \) | \( 2B + Ph \) | \( Bh \) |
| পিরামিড (Pyramid) ভূমি \( B \), উচ্চতা \( h \) | \( M \) (পার্শ্বতলের যোগফল) | \( B + M \) | \( \frac{1}{3}Bh \) |
গুরুত্বপূর্ণ স্মরণীয় সূত্র
- শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \)
- পিরামিডের আয়তন \( = \frac{1}{3} \times \) ভূমির ক্ষেত্রফল \( \times \) উচ্চতা
- শঙ্কুর আয়তন \( = \frac{1}{3} \times \) সমব্যাসার্ধী বেলনের আয়তন
- গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল \( = \) সমব্যাসার্ধী অর্ধগোলকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল