বৃত্তের স্পর্শক, অভিলম্ব ও সম্পর্কিত সমীকরণ
এই অধ্যায়ে আমরা বৃত্তের স্পর্শক (Tangent) ও অভিলম্ব (Normal) এর ধারণা, তাদের সমীকরণ নির্ণয়ের পদ্ধতি, স্পর্শ করার শর্ত, বৃত্তের বাইরের বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, স্পর্শ জ্যা (Chord of Contact) এর সমীকরণ এবং দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শ (Common Tangents) ও সাধারণ জ্যা (Common Chord) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
বৃত্তের স্পর্শক ও অভিলম্ব (Tangent and Normal)
সংজ্ঞা
স্পর্শক (Tangent): একটি সরলরেখা যে বৃত্তের পরিধিকে একটি মাত্র বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং সেই বিন্দুতে বৃত্তের উপরিস্থ অর্ধতলে অবস্থিত, তাকে বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়। স্পর্শক বিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
অভিলম্ব (Normal): একটি সরলরেখা যে স্পর্শবিন্দু দিয়ে গিয়ে বৃত্তের কেন্দ্রগামী হয়, তাকে সেই বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব বলা হয়। অর্থাৎ অভিলম্ব হলো স্পর্শকের উপর লম্ব রেখা যা স্পর্শবিন্দু দিয়ে যায়।
গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম
- স্পর্শক স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- অভিলম্ব স্পর্শবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোগ রেখা নির্দেশ করে।
- বৃত্তের উপর প্রত্যেক বিন্দুতে একটি মাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- বৃত্তের বাইরের যেকোনো বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত (Condition of Tangency)
ধরা যাক একটি সরলরেখা \( y = mx + c \) বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) কে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুতে বৃত্তের উপরিস্থ বিন্দু ও রেখার বিন্দু একই হবে।
বৃত্তের সমীকরণে \( y = mx + c \) বসিয়ে পাই:
\[ x^2 + (mx + c)^2 = a^2 \]
\[ x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 - a^2 = 0 \]
\[ (1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 - a^2) = 0 \]
স্পর্শ করার শর্ত হলো এই দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষমিক \( D = 0 \) হতে হবে (অর্থাৎ একটি মাত্র মূল থাকবে)।
\[ (2mc)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 - a^2) = 0 \]
\[ 4m^2c^2 - 4(c^2 - a^2 + m^2c^2 - m^2a^2) = 0 \]
\[ m^2c^2 - c^2 + a^2 - m^2c^2 + m^2a^2 = 0 \]
\[ -c^2 + a^2 + m^2a^2 = 0 \]
\[ c^2 = a^2(1 + m^2) \]
স্পর্শ করার শর্ত:
\[ c = \pm a\sqrt{1 + m^2} \]
অর্থাৎ রেখা \( y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2} \) সর্বদা বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) কে স্পর্শ করে যেকোনো \( m \) এর মানের জন্য।
সাধারণ বৃত্তের ক্ষেত্রে
বৃত্ত \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এবং সরলরেখা \( lx + my + n = 0 \)।
কেন্দ্র \( (-g, -f) \) থেকে রেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধ \( \sqrt{g^2 + f^2 - c} \) এর সমান হলে স্পর্শ করে।
\[ \frac{|-lg - mf + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \]
স্পর্শকের সমীকরণ (Equation of Tangent)
১. বৃত্তের উপরের বিন্দুতে স্পর্শক
মনে করি বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) এর উপর বিন্দু \( (x_1, y_1) \)।
স্পর্শকের ঢাল: ব্যাসার্ধ \( OP \) এর ঢাল \( = \frac{y_1}{x_1} \)। স্পর্শক এর উপর লম্ব বলে স্পর্শকের ঢাল \( = -\frac{x_1}{y_1} \)।
বিন্দু \( (x_1, y_1) \) গামী সরলরেখা:
\[ y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x - x_1) \]
\[ yy_1 - y_1^2 = -xx_1 + x_1^2 \]
\[ xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2 \]
যেহেতু \( (x_1, y_1) \) বৃত্তের উপর আছে, \( x_1^2 + y_1^2 = a^2 \)।
\[ xx_1 + yy_1 = a^2 \]
সাধারণ বৃত্তের ক্ষেত্রে \( T = 0 \):
\[ xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0 \]
২. ঢাল দেওয়া থাকলে স্পর্শকের সমীকরণ
ঢাল \( m \) এবং বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) এর স্পর্শক:
\[ y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2} \]
উদাহরণ ১:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = 25 \) এর বিন্দু \( (3, 4) \) এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
স্পর্শকের সমীকরণ:
\[ x \cdot 3 + y \cdot 4 = 25 \]
\[ 3x + 4y = 25 \]
উদাহরণ ২:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 \) এর বিন্দু \( (2, 3) \) এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( g = -2, f = -3, c = 9 \)
\[ T = 0 \]
\[ x \cdot 2 + y \cdot 3 - 2(x + 2) - 3(y + 3) + 9 = 0 \]
\[ 2x + 3y - 2x - 4 - 3y - 9 + 9 = 0 \]
\[ -4 = 0 \]
এটি অসম্ভব, কারণ \( (2,3) \) বৃত্তের কেন্দ্র!
সংশোধন: বিন্দু \( (4, 3) \) ধরি (পরীক্ষা: \( 16 + 9 - 16 - 18 + 9 = 0 \))।
\[ 4x + 3y - 2(x + 4) - 3(y + 3) + 9 = 0 \]
\[ 4x + 3y - 2x - 8 - 3y - 9 + 9 = 0 \]
\[ 2x - 8 = 0 \implies x = 4 \]
বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ (Equation of Normal)
অভিলম্ব হলো স্পর্শবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোগ রেখা।
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) এর বিন্দু \( (x_1, y_1) \) এ অভিলম্ব কেন্দ্র \( (0,0) \) ও \( (x_1, y_1) \) এর সংযোগ রেখা।
\[ y = \frac{y_1}{x_1}x \]
বা,
\[ \frac{x}{x_1} = \frac{y}{y_1} \]
বা,
\[ xy_1 = yx_1 \]
সাধারণ বৃত্তের ক্ষেত্রে \( (x_1, y_1) \) থেকে কেন্দ্র \( (-g, -f) \) এর সংযোগ রেখা।
উদাহরণ ৩:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = 25 \) এর বিন্দু \( (3, 4) \) এ অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{4} \]
\[ 4x = 3y \]
\[ 4x - 3y = 0 \]
স্পর্শক রেখার স্পর্শবিন্দু (Point of Contact)
যদি সরলরেখা \( y = mx + c \) বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) কে স্পর্শ করে এবং \( c = \pm a\sqrt{1 + m^2} \), তবে স্পর্শবিন্দু নির্ণয় করা যায়।
স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব।
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[ \left( -\frac{ma^2}{c}, \frac{a^2}{c} \right) \]
বা,
\[ \left( \mp \frac{am}{\sqrt{1+m^2}}, \pm \frac{a}{\sqrt{1+m^2}} \right) \]
যদি বহিঃস্থ বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে স্পর্শক অঙ্কন করা হয়, তবে স্পর্শবিন্দুগুলো স্পর্শ জ্যার প্রান্তবিন্দু হয়।
বহিঃস্থ বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (Length of Tangent)
মনে করি বৃত্তের সমীকরণ \( S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এবং বহিঃস্থ বিন্দু \( P(x_1, y_1) \)।
বিন্দু \( P \) থেকে বৃত্তে স্পর্শক \( PT \) অঙ্কন করলে যেখানে \( T \) স্পর্শবিন্দু। কেন্দ্র \( C(-g, -f) \)।
ত্রিভুজ \( CTP \) সমকোণী, যেখানে \( \angle CTP = 90^\circ \)।
\[ CP^2 = CT^2 + PT^2 \]
\[ PT^2 = CP^2 - CT^2 \]
\[ CP^2 = (x_1 + g)^2 + (y_1 + f)^2 \]
\[ CT^2 = r^2 = g^2 + f^2 - c \]
\[ PT^2 = (x_1 + g)^2 + (y_1 + f)^2 - (g^2 + f^2 - c) \]
\[ = x_1^2 + 2gx_1 + g^2 + y_1^2 + 2fy_1 + f^2 - g^2 - f^2 + c \]
\[ = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c \]
\[ = S_1 \]
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
\[ PT = \sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c} \]
মূলবিন্দুতে কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রে \( PT = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - a^2} \)।
উদাহরণ ৪:
বিন্দু \( (6, 8) \) থেকে বৃত্ত \( x^2 + y^2 = 25 \) এ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ PT = \sqrt{6^2 + 8^2 - 25} = \sqrt{36 + 64 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শ (Common Tangents)
দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শ হলো এমন সরলরেখা যা উভয় বৃত্তকে একই সাথে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শ দুই প্রকার:
- সরাসরি সাধারণ স্পর্শ (Direct Common Tangent): দুই বৃত্তের কেন্দ্রের সংযোগ রেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত।
- অতিক্রমক সাধারণ স্পর্শ (Transverse Common Tangent): দুই বৃত্তের কেন্দ্রের সংযোগ রেখা অতিক্রম করে।
সাধারণ স্পর্শের সংখ্যা
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( d \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1, r_2 \) এর উপর ভিত্তি করে:
- \( d > r_1 + r_2 \): 4টি সাধারণ স্পর্শ (2 সরাসরি, 2 অতিক্রমক)
- \( d = r_1 + r_2 \): 3টি (বহিঃস্থ স্পর্শ বিন্দুতে একটি সাধারণ)
- \( |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \): 2টি (শুধু সরাসরি)
- \( d = |r_1 - r_2| \): 1টি (অন্তঃস্থ স্পর্শ)
- \( d < |r_1 - r_2| \): কোনো সাধারণ স্পর্শ নেই (একটি অন্যটির ভেতরে)
সমীকরণ নির্ণয়
দুটি বৃত্তের সমীকরণ \( S_1 = 0 \) ও \( S_2 = 0 \) হলে, সাধারণ স্পর্শগুলো \( S_1 - S_2 = 0 \) পরিবারের অন্তর্ভুক্ত নয়, বরং বিশেষ শর্তে নির্ণয় করতে হয়।
যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে, তবে \( S_1 - S_2 = 0 \) হলো সাধারণ স্পর্শ বা সাধারণ জ্যা।
স্পর্শ জ্যা এবং এর সমীকরণ (Chord of Contact)
সংজ্ঞা
বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু \( P(x_1, y_1) \) থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক \( PA \) ও \( PB \) অঙ্কন করা হলে, স্পর্শবিন্দুদুটির সংযোগ রেখা \( AB \) কে বিন্দু \( P \) এর সাপেক্ষে বৃত্তের স্পর্শ জ্যা (Chord of Contact) বলা হয়।
সমীকরণ
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) এবং বহিঃস্থ বিন্দু \( (x_1, y_1) \) হলে স্পর্শ জ্যার সমীকরণ:
\[ T = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ xx_1 + yy_1 = a^2 \]
সাধারণ বৃত্তের ক্ষেত্রে:
\[ xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0 \]
স্পর্শ জ্যার দৈর্ঘ্য
যদি বিন্দু \( P \) থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( l \) এবং কেন্দ্র থেকে \( P \) এর দূরত্ব \( d \) হয়, তবে স্পর্শ জ্যার দৈর্ঘ্য \( L \):
\[ L = \frac{2lr}{d} \]
যেখানে \( r \) হলো ব্যাসার্ধ এবং \( l = \sqrt{d^2 - r^2} \)।
উদাহরণ ৫:
বৃত্ত \( x^2 + y^2 = 9 \) এর বাইরের বিন্দু \( (5, 2) \) থেকে স্পর্শ জ্যার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ T = 0 \]
\[ 5x + 2y = 9 \]
দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা (Common Chord)
সংজ্ঞা
দুটি বৃত্ত যখন দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুদুটির সংযোগকারী সরলরেখাকে তাদের সাধারণ জ্যা (Common Chord) বলা হয়।
সমীকরণ
দুটি বৃত্তের সমীকরণ:
\( S_1: x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0 \)
\( S_2: x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0 \)
ছেদবিন্দুগুলো উভয় বৃত্তের উপর আছে। তাই \( S_1 - S_2 = 0 \) রেখাটি উভয় ছেদবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
সাধারণ জ্যার সমীকরণ:
\[ S_1 - S_2 = 0 \]
অর্থাৎ,
\[ 2(g_1 - g_2)x + 2(f_1 - f_2)y + (c_1 - c_2) = 0 \]
এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ যা দুটি ছেদবিন্দুর সংযোগ রেখা নির্দেশ করে।
সাধারণ জ্যার দৈর্ঘ্য
যদি দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( d \), ব্যাসার্ধ \( r_1 \) ও \( r_2 \), তবে সাধারণ জ্যার দৈর্ঘ্য \( L \):
একটি কেন্দ্র থেকে সাধারণ জ্যার দূরত্ব \( p \) নির্ণয় করে জ্যার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ ৬:
বৃত্তদ্বয় \( x^2 + y^2 = 25 \) ও \( x^2 + y^2 - 12x - 6y + 35 = 0 \) এর সাধারণ জ্যার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( S_1: x^2 + y^2 - 25 = 0 \)
\( S_2: x^2 + y^2 - 12x - 6y + 35 = 0 \)
\( S_1 - S_2 = 0 \):
\[ (x^2 + y^2 - 25) - (x^2 + y^2 - 12x - 6y + 35) = 0 \]
\[ 12x + 6y - 60 = 0 \]
\[ 2x + y - 10 = 0 \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
স্পর্শকের সমীকরণ
\( T = 0 \):
\( xx_1 + yy_1 = a^2 \)
অভিলম্বের সমীকরণ
\( \frac{x}{x_1} = \frac{y}{y_1} \)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য
\( \sqrt{S_1} \)
স্পর্শ জ্যা
\( T = 0 \)
(বহিঃস্থ বিন্দুর পোলার)
সাধারণ জ্যা
\( S_1 - S_2 = 0 \)
স্পর্শ শর্ত
\( c^2 = a^2(1+m^2) \)
বা কেন্দ্র হতে দূরত্ব = ব্যাসার্ধ
গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলী
- স্পর্শক \( T=0 \) রূপে প্রকাশিত হয়।
- অভিলম্ব কেন্দ্র ও স্পর্শবিন্দুর সংযোগ রেখা।
- বহিঃস্থ বিন্দু হতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( \sqrt{S_1} \)।
- স্পর্শ জ্যা = বহিঃস্থ বিন্দুর পোলার রেখা।
- সাধারণ জ্যা \( S_1 - S_2 = 0 \)।
- স্পর্শ শর্ত: কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব = ব্যাসার্ধ।