সংযোজিত ফাংশন ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ
এতদিন আমরা সরল ফাংশনগুলোর অন্তরজ শিখেছি। কিন্তু বাস্তবে আমরা এমন অনেক ফাংশনের সম্মুখীন হই যেগুলো একের ভেতরে আরেকটি ফাংশন নিয়ে গঠিত। যেমন \( \sin(x^2) \) বা \( e^{\sin x} \)। এগুলোকে বলা হয় সংযোজিত ফাংশন (Composite Functions)। এছাড়াও কখনো কখনো আমাদের জানতে হয় একটি ফাংশনের বিপরীত ফাংশনের (Inverse Function) অন্তরজ কী হবে। এই অধ্যায়ে আমরা চেইন রুল (Chain Rule) বা সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণের সূত্র এবং বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের পদ্ধতি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ (Chain Rule)
সংযোজিত ফাংশন কী?
যদি একটি ফাংশনের আউটপুট আরেকটি ফাংশনের ইনপুট হিসেবে ব্যবহৃত হয়, তবে তাকে সংযোজিত ফাংশন বলে। ধরা যাক \( y = f(u) \) এবং \( u = g(x) \)। তাহলে \( y \) সরাসরি \( x \) এর একটি ফাংশন যা লেখা যায় \( y = f(g(x)) \)।
উদাহরণ:
- \( y = \sin(x^2) \) এখানে বাইরের ফাংশন \( \sin \), ভেতরের ফাংশন \( x^2 \)
- \( y = (3x + 1)^5 \) এখানে বাইরের ফাংশন ঘাত ৫, ভেতরের ফাংশন \( 3x + 1 \)
- \( y = e^{\cos x} \) এখানে বাইরের ফাংশন সূচক, ভেতরের ফাংশন \( \cos x \)
চেইন রুলের সূত্র (Chain Rule)
যদি \( y = f(u) \) এবং \( u = g(x) \) দুটিই অন্তরীকরযোগ্য হয়, তবে \( y \) এর \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরজ হবে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
অথবা লেইবনিজের স্বরূপে:
\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
ভাষায়: বাইরের ফাংশনের অন্তরজ (ভেতরের ফাংশন অপরিবর্তিত রেখে) গুণ ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ।
তিন স্তরের সংযোজনের জন্য
যদি \( y = f(u) \), \( u = g(v) \), এবং \( v = h(x) \) হয়, তবে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \]
উদাহরণ ১:
\( y = (3x^2 + 1)^5 \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = 3x^2 + 1 \), তাহলে \( y = u^5 \)
\[ \frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x^2+1)^4 \]
\[ \frac{du}{dx} = 6x \]
সূত্র প্রয়োগ করে:
\[ \frac{dy}{dx} = 5(3x^2+1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4 \]
উদাহরণ ২:
\( y = \sin(x^3) \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = x^3 \), তাহলে \( y = \sin u \)
\[ \frac{dy}{du} = \cos u = \cos(x^3) \]
\[ \frac{du}{dx} = 3x^2 \]
\[ \frac{dy}{dx} = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3) \]
উদাহরণ ৩ (তিন স্তরের):
\( y = e^{\sin(x^2)} \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( y = e^u \), \( u = \sin v \), \( v = x^2 \)
\[ \frac{dy}{du} = e^u = e^{\sin v} = e^{\sin(x^2)} \]
\[ \frac{du}{dv} = \cos v = \cos(x^2) \]
\[ \frac{dv}{dx} = 2x \]
\[ \frac{dy}{dx} = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)e^{\sin(x^2)} \]
শক্তির শৃঙ্খলা (Power Chain Rule)
যদি \( y = [g(x)]^n \) হয়, তবে:
\[ \frac{d}{dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) \]
বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ (Derivative of Inverse Function)
উপপাদ্য (Theorem)
ধরা যাক \( f \) একটি একৈকিক (bijective) এবং অন্তরীকরযোগ্য ফাংশন এবং \( f'(x) \neq 0 \)। তাহলে তার বিপরীত ফাংশন \( f^{-1} \)ও অন্তরীকরযোগ্য এবং:
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]
যেখানে \( y = f(x) \), অর্থাৎ \( x = f^{-1}(y) \)
বা \( x \) এর আকারে:
\[ \frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]
প্রমাণের স্কেচ
আমরা জানি \( f(f^{-1}(x)) = x \)। উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে (চেইন রুল ব্যবহার করে):
\[ f'(f^{-1}(x)) \cdot \frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = 1 \]
থেকে:
\[ \frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
বিপরীত ফাংশনের গ্রাফ হলো মূল ফাংশনের গ্রাফের \( y = x \) রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব। স্পর্শকের ঢালও উল্টে যায়। যদি মূল ফাংশনের কোনো বিন্দুতে ঢাল \( m \) হয়, তবে বিপরীত ফাংশনের সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে ঢাল হবে \( \frac{1}{m} \)।
উদাহরণ ৪:
ধরা যাক \( f(x) = x^3 \) এবং \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \)। দুইভাবেই অন্তরজ নির্ণয় করে দেখুন যে সূত্র সত্য।
সমাধান:
পদ্ধতি ১ (সরাসরি):
\[ \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} \]
পদ্ধতি ২ (বিপরীত ফাংশন সূত্র):
\[ f'(x) = 3x^2 \]
\[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{3(x^{1/3})^2} = \frac{1}{3x^{2/3}} \]
উভয় পক্ষ সমান।
বিশেষ বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ
১. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
আমরা জানি \( y = \sin^{-1}x \) মানে \( x = \sin y \) যেখানে \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \)।
\( x = \sin y \) থেকে \( \frac{dx}{dy} = \cos y \)
সুতরাং:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} \]
\[ \frac{d}{dx}(\cot^{-1}x) = -\frac{1}{1+x^2} \]
\[ \frac{d}{dx}(\sec^{-1}x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\csc^{-1}x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]
২. বিপরীত সূচক ও লগারিদমিক ফাংশন
\( y = \ln x \) হলো \( x = e^y \) এর বিপরীত।
\[ \frac{dx}{dy} = e^y = x \]
সুতরাং:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \]
এটি আমরা আগেই জানতাম, এখন বিপরীত ফাংশন থেকে প্রমাণ করা গেল।
উদাহরণ ৫:
\( y = \sin^{-1}(2x) \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
চেইন রুল ব্যবহার করে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x) \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2 \]
\[ = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \]
উদাহরণ ৬:
\( y = \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = \frac{1+x}{1-x} \)
\[ \frac{du}{dx} = \frac{(1-x)\cdot 1 - (1+x)\cdot(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2} \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} \]
\[ = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2+(1+x)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} \]
\[ = \frac{2}{(1-2x+x^2)+(1+2x+x^2)} = \frac{2}{2+2x^2} = \frac{1}{1+x^2} \]
দেখা যাচ্ছে যে এই বিশেষ ফাংশনের অন্তরজ সরল \( \tan^{-1}x \) এর অন্তরজের সমান!
অন্তর্নিহিত অন্তরীকরণ (Implicit Differentiation) - সংক্ষিপ্ত পরিচিতি
যখন \( y \) সরাসরি \( x \) এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যায় না, কিন্তু একটি সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্ক দেওয়া থাকে (যেমন \( x^2 + y^2 = 25 \)), তখন উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হয় এবং \( y \) এর অন্তরজ বের করতে হয় চেইন রুল ব্যবহার করে \( \frac{dy}{dx} \) হিসেবে।
উদাহরণ ৭:
\( x^2 + y^2 = 25 \) থেকে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ:
\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]
\[ 2y\frac{dy}{dx} = -2x \]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
চেইন রুল
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
বা
\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
বিপরীত ফাংশন
\[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]
বা
\[ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \]
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক
\[ \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} \]
শক্তির শৃঙ্খলা
\[ \frac{d}{dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) \]
মনে রাখার পরামর্শ
- সংযোজিত ফাংশনে সবসময় ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ গুণ করতে ভুলবেন না
- বিপরীত ফাংশনের অন্তরজে ভাগফল আসে, মূল ফাংশনের অন্তরজ দিয়ে ভাগ করুন
- \( \sin^{-1}x \) এর অন্তরজের মূলে \( \sqrt{1-x^2} \) আসে
- \( \tan^{-1}x \) এর অন্তরজ সবচেয়ে সরল \( \frac{1}{1+x^2} \)
- অন্তর্নিহিত অন্তরীকরণে \( y \) এর সাথে সবসময় \( \frac{dy}{dx} \) গুণ হয় (চেইন রুল)