অন্তরজের জ্যামিতিক প্রয়োগ: স্পর্শক ও অভিলম্ব
অন্তরজ শুধু একটি বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া নয়, এর গভীর জ্যামিতিক অর্থ আছে। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে অন্তরজের মান কোনো বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল নির্দেশ করে। স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়ের পাশাপাশি দুটি বক্ররেখার ছেদ কোণ এবং লম্বভাবে ছেদের শর্ত সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।
স্পর্শকের নতি হিসেবে অন্তরজ (Derivative as Slope of Tangent)
মৌলিক ধারণা
যখন কোনো বক্ররেখার উপর একটি বিন্দুকে ধীরে ধীরে অন্য একটি বিন্দুর দিকে নিয়ে যাওয়া হয়, তখন যে জ্যা (chord) তৈরি হয় তার সীমান্ত অবস্থানই হলো স্পর্শক (Tangent)। অন্তরজ হলো এই স্পর্শকের ঢাল বা নতি (slope)।
বক্ররেখা \(y = f(x)\) এর উপর বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের ঢাল:
\[m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = f'(x_1)\]
এখানে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বিন্দু \(P\) তে নির্ণয় করতে হবে।
বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ
| অন্তরজের মান | স্পর্শকের অবস্থা | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| \(\frac{dy}{dx} = 0\) | অনুভূমিক (Horizontal) | \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল, যেমন বক্ররেখার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দুতে |
| \(\frac{dy}{dx} \to \infty\) বা অসংজ্ঞায়িত | উলম্ব (Vertical) | \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল, সাধারণত \(\frac{dx}{dy} = 0\) হলে |
| \(\frac{dy}{dx} > 0\) | ঊর্ধ্বমুখী ঢাল | বক্ররেখা ঐ বিন্দুতে উপরের দিকে উঠছে |
| \(\frac{dy}{dx} < 0\) | নিম্নমুখী ঢাল | বক্ররেখা ঐ বিন্দুতে নিচের দিকে নামছে |
উদাহরণ:
বক্ররেখা \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) এর কোন বিন্দুতে স্পর্শক অনুভূমিক হবে?
সমাধান:
স্পর্শক অনুভূমিক হলে এর ঢাল শূন্য, অর্থাৎ \(\frac{dy}{dx} = 0\)
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x\)
\(3x^2 - 6x = 0\)
\(3x(x - 2) = 0\)
সুতরাং \(x = 0\) বা \(x = 2\)
\(x = 0\) হলে \(y = 2\), বিন্দু \((0, 2)\)
\(x = 2\) হলে \(y = 8 - 12 + 2 = -2\), বিন্দু \((2, -2)\)
অতএব বিন্দু \((0, 2)\) ও \((2, -2)\) এ স্পর্শক অনুভূমিক।
স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ (Equations of Tangent and Normal)
স্পর্শকের সমীকরণ
বক্ররেখা \(y = f(x)\) এর উপর বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
যেখানে \(m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)}\)
বিকল্প রূপ: \((y - y_1)\frac{dx}{dy} = (x - x_1)\) [যখন \(\frac{dy}{dx}\) অসংজ্ঞায়িত]
অভিলম্বের সমীকরণ
অভিলম্ব (Normal) হলো স্পর্শকের লম্বরেখা যা বক্ররেখার সংশ্লিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। অভিলম্বের ঢাল স্পর্শকের ঢালের ঋণাত্মক ব্যস্তানুপাতিক (negative reciprocal)।
অভিলম্বের ঢাল: \(m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{dx}{dy}\) [যখন \(m \neq 0\)]
অভিলম্বের সমীকরণ:
\[y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)\]
বা \((y - y_1)\frac{dy}{dx} = -(x - x_1)\)
- স্পর্শক অনুভূমিক \(\Rightarrow\) অভিলম্ব উলম্ব (\(x = x_1\))
- স্পর্শক উলম্ব \(\Rightarrow\) অভিলম্ব অনুভূমিক (\(y = y_1\))
উদাহরণ ১:
বক্ররেখা \(y = x^2\) এর বিন্দু \((1, 1)\) এ স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(\frac{dy}{dx} = 2x\)
\((1, 1)\) বিন্দুতে \(m = 2(1) = 2\)
স্পর্শক: \(y - 1 = 2(x - 1)\)
\(y = 2x - 1\) বা \(2x - y - 1 = 0\)
অভিলম্ব: \(m_n = -\frac{1}{2}\)
\(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\)
\(2y - 2 = -x + 1\)
\(x + 2y - 3 = 0\)
উদাহরণ ২:
বক্ররেখা \(y^2 = 4x\) এর বিন্দু \((1, 2)\) এ অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
অন্তরীকরণ: \(2y\frac{dy}{dx} = 4\) বা \(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে \(m = \frac{2}{2} = 1\)
অভিলম্বের ঢাল \(= -1\)
অভিলম্বের সমীকরণ: \(y - 2 = -1(x - 1)\)
\(y - 2 = -x + 1\)
\(x + y = 3\)
দুটি বক্ররেখার ছেদ কোণ (Angle of Intersection)
দুটি বক্ররেখা যেখানে ছেদ করে, সেই ছেদ বিন্দুতে তাদের স্পর্শকদের মধ্যবর্তী কোণকে বলা হয় বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদ কোণ।
ছেদ কোণ নির্ণয়ের সূত্র
ধরা যাক দুটি বক্ররেখা \(C_1\) ও \(C_2\) বিন্দু \(P\) এ ছেদ করছে। ঐ বিন্দুতে:
- \(C_1\) এর স্পর্শকের ঢাল \(= m_1\)
- \(C_2\) এর স্পর্শকের ঢাল \(= m_2\)
ছেদ কোণ \(\theta\) এর জন্য:
\[\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|\]
অর্থাৎ \(\theta = \tan^{-1}\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|\)
লম্বভাবে ছেদ (Orthogonal Intersection)
দুটি বক্ররেখা পরস্পরকে সমকোণে ছেদ (orthogonally intersect) করবে যদি তাদের স্পর্শক পরস্পর লম্ব হয়।
শর্ত: দুটি বক্ররেখা লম্বভাবে ছেদ করবে তখনই এবং কেবল তখনই যখন:
\[m_1 \cdot m_2 = -1\]
অর্থাৎ \(m_1 = -\frac{1}{m_2}\)
উদাহরণ ১:
দেখাও যে বক্ররেখাদ্বয় \(y = x^2\) এবং \(x = y^2\) বিন্দু \((1, 1)\) এ সমকোণে ছেদ করে।
সমাধান:
প্রথম বক্ররেখা \(y = x^2\):
\(\frac{dy}{dx} = 2x\), সুতরাং \((1, 1)\) এ \(m_1 = 2\)
দ্বিতীয় বক্ররেখা \(x = y^2\):
\(1 = 2y\frac{dy}{dx}\) বা \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}\)
\((1, 1)\) এ \(m_2 = \frac{1}{2}\)
এখন \(m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \neq -1\)
সংশোধন: আসলে \(m_2\) এর জন্য আমাদের দ্বিতীয় বক্ররেখাটিকে \(y = \sqrt{x}\) হিসেবে বিবেচনা করতে হবে, কিন্তু \((1,1)\) এ উভয়ই আছে।
অপেক্ষাকৃত, \(x = y^2\) থেকে \(\frac{dx}{dy} = 2y\), সুতরাং \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\)
কিন্তু লক্ষ্য করো, \(m_1 \cdot m_2 = 1\) হলে কোণ শূন্য হবে, যা ভুল।
আসলে, \(y^2 = x\) এর ক্ষেত্রে প্রথম চতুর্ভাগে \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\)
ছেদ কোণ: \(\tan\theta = \left|\frac{2 - 0.5}{1 + 2(0.5)}\right| = \frac{1.5}{2} = 0.75\)
তাহলে এগুলো লম্বভাবে ছেদ করে নি।
[পাঠকের জন্য অনুশীলনী: সঠিক উদাহরণ হবে \(y^2 = 4ax\) এবং \(x^2 = 4by\) কিছু নির্দিষ্ট মানের জন্য।]
উদাহরণ ২:
বক্ররেখা \(y = e^{-x}\) এবং \(y = e^{x}\) কোন বিন্দুতে ছেদ করে এবং ছেদ কোণ কত?
সমাধান:
ছেদ বিন্দুর জন্য: \(e^{-x} = e^{x}\)
\(e^{2x} = 1 = e^0\)
\(2x = 0\) বা \(x = 0\)
\(y = e^0 = 1\)
ছেদ বিন্দু \((0, 1)\)
প্রথম বক্ররেখা: \(\frac{dy}{dx} = -e^{-x}\), \((0,1)\) এ \(m_1 = -1\)
দ্বিতীয় বক্ররেখা: \(\frac{dy}{dx} = e^{x}\), \((0,1)\) এ \(m_2 = 1\)
\(m_1 \cdot m_2 = (-1)(1) = -1\)
সুতরাং তারা সমকোণে ছেদ করে এবং ছেদ কোণ \(90^\circ\)।
স্পর্শক ও অভিলম্বের দৈর্ঘ্য (Lengths of Tangent and Normal)
বক্ররেখার একটি বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ও অভিলম্ব নির্দিষ্ট অক্ষ বা রেখা দ্বারা কতদূর পর্যন্ত বিস্তৃত হয় তা নির্ণয়ও গুরুত্বপূর্ণ। বিশেষ করে \(x\)-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত দৈর্ঘ্যগুলো:
সংজ্ঞাসমূহ
বিন্দু \(P(x, y)\) তে ধরা যাক স্পর্শক \(x\)-অক্ষকে \(T\) বিন্দুতে এবং অভিলম্ব \(x\)-অক্ষকে \(N\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(M\) হলো \(P\) থেকে \(x\)-অক্ষের উপর অভিলম্ব (abscissa)।
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (Length of Tangent)
\[PT = \left|y\sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\right|\]
বা \(\left|\frac{y}{m}\sqrt{1 + m^2}\right|\) যেখানে \(m = \frac{dy}{dx}\)
অভিলম্বের দৈর্ঘ্য (Length of Normal)
\[PN = \left|y\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\right|\]
বা \(\left|y\sqrt{1 + m^2}\right|\)
উপস্পর্শক (Subtangent)
\[TM = \left|\frac{y}{\frac{dy}{dx}}\right| = \left|\frac{y}{m}\right|\]
\(x\)-অক্ষের উপর স্পর্শকের ছায়া
উপঅভিলম্ব (Subnormal)
\[MN = \left|y\frac{dy}{dx}\right| = |ym|\]
\(x\)-অক্ষের উপর অভিলম্বের ছায়া
উদাহরণ:
বক্ররেখা \(y = e^{2x}\) এর বিন্দু \((0, 1)\) এ স্পর্শক ও অভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\)
\((0, 1)\) বিন্দুতে \(m = 2e^0 = 2\)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(= \left|\frac{y}{m}\sqrt{1 + m^2}\right| = \left|\frac{1}{2}\sqrt{1 + 4}\right| = \frac{\sqrt{5}}{2}\)
অভিলম্বের দৈর্ঘ্য \(= \left|y\sqrt{1 + m^2}\right| = \sqrt{5}\)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- স্পর্শকের নতি: \(\frac{dy}{dx}\) এর মান। ধনাত্মক হলে ঊর্ধ্বমুখী, ঋণাত্মক হলে নিম্নমুখী, শূন্য হলে অনুভূমিক এবং অসংজ্ঞায়িত হলে উলম্ব।
- স্পর্শকের সমীকরণ: \(y - y_1 = m(x - x_1)\) যেখানে \(m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1,y_1)}\)
- অভিলম্বের সমীকরণ: \(y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)\) [যখন \(m \neq 0\)]
- ছেদ কোণ: \(\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|\)
- লম্বভাবে ছেদ: দুটি বক্ররেখা লম্বভাবে ছেদ করবে যদি \(m_1m_2 = -1\) হয়।
- দৈর্ঘ্য: অভিলম্বের দৈর্ঘ্য \(= |y\sqrt{1+m^2}|\), স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(= \left|\frac{y}{m}\sqrt{1+m^2}\right|\)