৫.৩ অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
প্রমিত সূত্র ও প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ছাড়াও যোগজীকরণের জন্য বিশেষ কৌশলগুলোর প্রয়োজন হয়। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো খণ্ডশয্য পদ্ধতি (Integration by Parts) দ্বারা দুটি ফাংশনের গুণফলের যোগজ, আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ (Partial Fractions) পদ্ধতি দ্বারা জটিল বীজগাণিতিক ভগ্নাংশের যোগজ, এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও বিশেষ ফাংশনের যোগজ নির্ণয়ের উন্নত পদ্ধতিসমূহ।
খণ্ডশয্য পদ্ধতি (Integration by Parts)
সূত্রের উৎপত্তি
দুটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজের সূত্র (Product Rule) থেকে খণ্ডশয্য পদ্ধতি প্রাপ্ত হয়। যদি \(u\) ও \(v\) দুটি ফাংশন হয়, তবে অন্তরজের গুণনীতি অনুসারে:
\[\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}\]
উভয় পক্ষকে \(dx\) দ্বারা যোগজীকরণ করলে:
\[uv = \int u \, dv + \int v \, du\]
বা,
\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]
বিকল্প রূপ:
\[\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int v(x) \cdot u'(x) \, dx\]
পদ্ধতি নির্বাচন: ILATE নিয়ম
কোন ফাংশনকে \(u\) ধরবো তা নির্ধারণের জন্য ILATE নিয়ম ব্যবহার করা হয়:
- I - Inverse trigonometric (বিপরীত ত্রিকোণমিতিক)
- L - Logarithmic (লঘারিদমিক)
- A - Algebraic (বীজগাণিতিক)
- T - Trigonometric (ত্রিকোণমিতিক)
- E - Exponential (ঘাতাঙ্কিক)
যে ফাংশন ILATE ক্রমে আগে আসবে, তাকে প্রথম ফাংশন \(u\) ধরতে হবে এবং পরেরটিকে দ্বিতীয় ফাংশন \(dv\) ধরতে হবে।
উদাহরণ ১: \(\int x e^x \, dx\)
সমাধান:
ILATE অনুসারে: \(x\) (Algebraic) আগে, \(e^x\) (Exponential) পরে।
ধরি, \(u = x\) এবং \(dv = e^x \, dx\)
তাহলে \(du = dx\) এবং \(v = \int e^x \, dx = e^x\)
খণ্ডশয্য সূত্র প্রয়োগ করে:
\[\int x e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C\]
উদাহরণ ২: \(\int x \ln x \, dx\)
সমাধান:
ILATE অনুসারে: \(\ln x\) (Logarithmic) আগে, \(x\) (Algebraic) পরে।
ধরি, \(u = \ln x\) এবং \(dv = x \, dx\)
তাহলে \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = \frac{x^2}{2}\)
\[\int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx\]
\[= \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\]
\[= \frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C\]
বারবার খণ্ডশয্য (Repeated Integration by Parts)
যখন \(x^n\) আকারের ফাংশন থাকে যেখানে \(n > 1\), তখন একাধিকবার খণ্ডশয্য প্রয়োগ করতে হয়।
উদাহরণ ৩: \(\int x^2 \sin x \, dx\)
সমাধান:
প্রথমবার: \(u = x^2\), \(dv = \sin x \, dx\)
\(du = 2x \, dx\), \(v = -\cos x\)
\[= -x^2\cos x + \int 2x\cos x \, dx\]
দ্বিতীয়বার \(\int x\cos x \, dx\) এর জন্য: \(u = x\), \(dv = \cos x \, dx\)
\(\int x\cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x + \cos x\)
সুতরাং পূর্ণাঙ্গ সমাধান:
\[= -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) + C\]
\[= -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C\]
বিশেষ ক্ষেত্র: ম circulate যোগজ
যেমন \(\int e^x \sin x \, dx\) বা \(\int e^x \cos x \, dx\) এর ক্ষেত্রে দুইবার খণ্ডশয্য করলে আবার মূল যোগজটি ফিরে আসে।
উদাহরণ ৪: \(\int e^x \sin x \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(I = \int e^x \sin x \, dx\)
প্রথমবার খণ্ডশয্য: \(u = \sin x\), \(dv = e^x dx\)
\[I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\]
দ্বিতীয়বার \(\int e^x \cos x \, dx\) এর জন্য: \(u = \cos x\), \(dv = e^x dx\)
\[\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I\]
বসিয়ে দিলে:
\[I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)\]
\[I = e^x \sin x - e^x \cos x - I\]
\[2I = e^x(\sin x - \cos x)\]
\[I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C\]
আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ (Integration by Partial Fractions)
যখন যোগজ্য একটি জটিল বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) আকারের হয়, যেখানে \(P(x)\) ও \(Q(x)\) বহুপদী এবং \(\deg P(x) < \deg Q(x)\), তখন \(Q(x)\) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করা যায়।
বিভিন্ন ক্ষেত্রে আংশিক ভগ্নাংশ
ক্ষেত্র ১: অপ্রত্যাশিত রৈখিক উৎপাদক \((x-a)\)
\[\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}\]
যেখানে \(A\) ও \(B\) ধ্রুবক।
ক্ষেত্র ২: পুনরাবৃত্ত রৈখিক উৎপাদক \((x-a)^2\)
\[\frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b}\]
ক্ষেত্র ৩: অপ্রত্যাশিত দ্বিঘাত উৎপাদক \((ax^2+bx+c)\)
যেখানে \(ax^2+bx+c\) উৎপাদকে বিশ্লেষণযোগ্য নয় (অনুমোদনযোগ্য)।
\[\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\]
উদাহরণ ১: \(\int \frac{3x+5}{x^2-4} \, dx\)
সমাধান:
হর: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)
ধরি, \(\frac{3x+5}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}\)
উভয় পক্ষকে \((x-2)(x+2)\) দ্বারা গুণ করে:
\(3x+5 = A(x+2) + B(x-2)\)
\(x = 2\) রাখলে: \(6+5 = A(4) \Rightarrow A = \frac{11}{4}\)
\(x = -2\) রাখলে: \(-6+5 = B(-4) \Rightarrow B = \frac{1}{4}\)
সুতরাং:
\[\int \frac{3x+5}{x^2-4} \, dx = \int \left[\frac{11/4}{x-2} + \frac{1/4}{x+2}\right] dx\]
\[= \frac{11}{4}\ln|x-2| + \frac{1}{4}\ln|x+2| + C\]
\[= \frac{1}{4}\ln|(x-2)^{11}(x+2)| + C\]
উদাহরণ ২: \(\int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} \, dx\)
সমাধান:
ধরি, \(\frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}\)
উভয় পক্ষকে \(x(x-1)^2\) দ্বারা গুণ করে:
\(x^2+1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx\)
\(x = 0\) রাখলে: \(1 = A(1) \Rightarrow A = 1\)
\(x = 1\) রাখলে: \(2 = C(1) \Rightarrow C = 2\)
\(x^2\) এর সহগ তুলনা করে: \(1 = A + B \Rightarrow B = 0\)
সুতরাং:
\[\int \left[\frac{1}{x} + \frac{2}{(x-1)^2}\right] dx = \ln|x| - \frac{2}{x-1} + C\]
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগজ (Trigonometric Integrals)
সূত্রাবলী
সরল রূপান্তর
\(\int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C\)
\(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)
\(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
\(\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\)
বর্গের সূত্র
\(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\)
\(\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\)
\(\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\)
\(\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\)
ঘাত বিশিষ্ট ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগজ
উপায় ১: \(\int \sin^m x \cos^n x \, dx\)
- যদি \(m\) বিজোড় হয়: একটি \(\sin x\) আলাদা করে বাকিটা \(\cos x\) আকারে, \(\sin x\) এর অন্তরজ \(-\cos x\)
- যদি \(n\) বিজোড় হয়: একটি \(\cos x\) আলাদা করে বাকিটা \(\sin x\) আকারে
- যদি উভয়ই জোড় হয়: \(\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}\) এবং \(\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\) ব্যবহার করতে হবে
উদাহরণ: \(\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx\)
সমাধান:
\[\int \sin^2 x \cos^2 x \cdot \sin x \, dx = \int (1-\cos^2 x)\cos^2 x \cdot \sin x \, dx\]
ধরি \(u = \cos x\), \(du = -\sin x \, dx\)
\[= -\int (1-u^2)u^2 \, du = -\int (u^2-u^4) \, du\]
\[= -\left[\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}\right] + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C\]
অর্ধকোণ সূত্র ও রূপান্তর
\(\sin^2 x\), \(\cos^2 x\) ইত্যাদির যোগজের জন্য:
\[\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\]
\[\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\]
বিশেষ যোগজ রূপান্তর কৌশল
১. \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\) আকারের যোগজ
হরকে \(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{4a^2}\right)\) আকারে লিখে প্রতিস্থাপন করতে হয়।
উদাহরণ: \(\int \frac{dx}{x^2+4x+5}\)
সমাধান:
\(x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1\)
ধরি \(u = x+2\), \(du = dx\)
\[\int \frac{du}{u^2+1} = \tan^{-1}u + C = \tan^{-1}(x+2) + C\]
২. \(\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} \, dx\) আকারের যোগজ
লবকে লিখতে হবে: \(px+q = A(2ax+b) + B\)
যেখানে \(2ax+b\) হলো হরের অন্তরজ।
উদাহরণ: \(\int \frac{x+1}{x^2+2x+3} \, dx\)
সমাধান:
হরের অন্তরজ: \(2x+2\)
ধরি \(x+1 = A(2x+2) + B\)
\(x\) এর সহগ: \(1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}\)
ধ্রুবক: \(1 = 2A + B \Rightarrow B = 0\)
\[\int \frac{\frac{1}{2}(2x+2)}{x^2+2x+3} \, dx = \frac{1}{2}\ln|x^2+2x+3| + C\]
৩. ওয়ালিস সূত্র (Wallis Formula) - বিশেষ ক্ষেত্র
\(0\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) পর্যন্ত \(\sin^n x\) বা \(\cos^n x\) এর নির্দিষ্ট যোগজের জন্য:
যদি \(n\) বিজোড় হয়:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1\]
যদি \(n\) জোড় হয়:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\]
মানদণ্ডীকরণ পদ্ধতি (Rationalization)
যখন যোগজ্যের হর বা লবে \(\sqrt{x}\) থাকে, তখন উপযুক্ত রাশি দ্বারা গুণ করে মানদণ্ডীকরণ করা হয়।
উদাহরণ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\)
সমাধান:
মানদণ্ডীকারক \((\sqrt{x}-\sqrt{x+1})\) দ্বারা গুণ ও ভাগ:
\[= \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{x-(x+1)} \, dx = \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{-1} \, dx\]
\[= \int (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) \, dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- খণ্ডশয্য পদ্ধতি: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\); ILATE নিয়ম অনুসরণ করে \(u\) নির্বাচন করতে হবে।
- আংশিক ভগ্নাংশ: জটিল ভগ্নাংশকে সরল ভগ্নাংশে বিভক্ত করে যোগজ করা; অপ্রত্যাশিত, পুনরাবৃত্ত ও দ্বিঘাত উৎপাদকের জন্য আলাদা পদ্ধতি।
- ত্রিকোণমিতিক যোগজ: \(\sin^m x \cos^n x\) এর ক্ষেত্রে বিজোড় ঘাত আলাদা করে প্রতিস্থাপন; জোড় ঘাতের জন্য অর্ধকোণ সূত্র।
- বিশেষ কৌশল: হরের অন্তরজ লবে আনা, মানদণ্ডীকরণ, ওয়ালিস সূত্র ইত্যাদি প্রয়োগ।