বিন্যাস (Permutations)
বিন্যাস (Permutation) হলো সংখ্যাতত্ত্বের একটি মৌলিক ধারণা যা বিভিন্ন বস্তুকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানোর পদ্ধতি বা সংখ্যা নির্দেশ করে। এই অধ্যায়ে আমরা বিন্যাসের সংজ্ঞা, ক্রমগুণিতক (Factorial) এর ধারণা, বিভিন্ন বস্তুর বিন্যাস সূত্র, পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাস, বৃত্তাকার বিন্যাস (Circular Permutation) এবং নিষেধাজ্ঞা সহ বিন্যাস সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান পদ্ধতি শিখব।
বিন্যাসের সংজ্ঞা (Definition of Permutation)
মৌলিক সংজ্ঞা
কতিপয় বস্তু থেকে কিছু বস্তু বা সব বস্তু নিয়ে তাদের একটি নির্দিষ্ট ক্রমানুসারে সাজানোকে বিন্যাস (Permutation) বলা হয়। এখানে বস্তুগুলোর সাজানোর ক্রম বা অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
যদি \( n \) সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সাজানো হয়, তবে এতে যে সকল বিভিন্ন ক্রম তৈরি হয়, তাদের প্রত্যেকটিই একটি করে বিন্যাস।
বিন্যাস ও সমাবেশের পার্থক্য
বিন্যাসে (Permutation): ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। যেমন—\( AB \) এবং \( BA \) ভিন্ন বিন্যাস হিসেবে গণ্য হয়।
সমাবেশে (Combination): কেবল নির্বাচন গুরুত্বপূর্ণ, ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। যেমন—\( AB \) এবং \( BA \) একই সমাবেশ।
উদাহরণ ১:
অক্ষর \( A, B, C \) দিয়ে দুই অক্ষরের কতগুলো শব্দ বা বিন্যাস তৈরি করা যায়?
সমাধান:
সম্ভাব্য বিন্যাসগুলো হলো: \( AB, AC, BA, BC, CA, CB \)
সুতরাং মোট বিন্যাসের সংখ্যা = ৬টি।
লক্ষ্য করুন যে \( AB \) এবং \( BA \) আলাদা আলাদা বিন্যাস হিসেবে গণ্য হয়েছে কারণ এখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
ক্রমগুণিতক (Factorial)
সংজ্ঞা
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \( n \) এর ক্রমগুণিতক (Factorial) বলতে \( 1 \) থেকে \( n \) পর্যন্ত সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে বোঝায়। এটিকে \( n! \) (পড়া হয় "এন ফ্যাক্টোরিয়াল") দ্বারা সূচিত করা হয়।
\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \]
বিশেষ মান
\[ 0! = 1 \]
\[ 1! = 1 \]
ক্রমগুণিতকের ধর্ম
- \[ n! = n \times (n-1)! \]
- \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2)! \]
- \[ \frac{n!}{r!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (r+1) \] (যখন \( n > r \))
উদাহরণ ২:
\( 5! \) এর মান নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে \( 5! = 5 \times 4! \)
সমাধান:
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
\[ 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120 = 5! \]
∴ প্রমাণিত।
উদাহরণ ৩:
\( \frac{7!}{4!} \) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \]
বিন্যাসের সূত্র (Permutation Formula)
\( n \) সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \) সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস
ধরা যাক, \( n \) সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \) সংখ্যক বস্তু নিয়ে বিন্যাস করতে হবে (\( 1 \leq r \leq n \))।
প্রথম স্থান পূরণ করার উপায় = \( n \) টি
দ্বিতীয় স্থান পূরণ করার উপায় = \( (n-1) \) টি (কারণ একটি বস্তু ইতোমধ্যে ব্যবহৃত হয়েছে)
তৃতীয় স্থান পূরণ করার উপায় = \( (n-2) \) টি
\(\vdots\)
\( r \)-তম স্থান পূরণ করার উপায় = \( (n-r+1) \) টি
সুতরাং গুণনীয়ক সূত্র অনুযায়ী মোট বিন্যাসের সংখ্যা:
\[ ^nP_r = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) \]
ক্রমগুণিতকের সাহায্যে:
\[ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \]
বিশেষ ক্ষেত্র
- যখন \( r = n \) (সব বস্তু নিয়ে বিন্যাস):
- যখন \( r = 1 \):
- যখন \( r = 0 \):
\[ ^nP_n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! \]
\[ ^nP_1 = n \]
\[ ^nP_0 = 1 \]
উদাহরণ ৪:
৫ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে ৩ জনকে একটি সারিতে বসানোর কতগুলো উপায় আছে?
সমাধান:
এখানে \( n = 5 \), \( r = 3 \)
\[ ^5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]
অথবা:
\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
সুতরাং ৬০টি উপায় আছে।
উদাহরণ ৫:
শব্দ \( MATHS \) এর অক্ষরগুলো দিয়ে কতগুলো বিভিন্ন শব্দ তৈরি করা যায় (প্রতিটি শব্দে সব অক্ষর ব্যবহার করতে হবে)?
সমাধান:
মোট অক্ষর = ৫টি, সবগুলো ভিন্ন।
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
সুতরাং ১২০টি বিভিন্ন শব্দ তৈরি করা যায়।
পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাস (Permutation with Repetition)
১. সব বস্তু নিয়ে বিন্যাস (পুনরাবৃত্তিসহ)
যদি \( n \) সংখ্যক বস্তুর মধ্যে \( p \) সংখ্যক একটি ধরনের, \( q \) সংখ্যক আরেকটি ধরনের, \( r \) সংখ্যক তৃতীয় ধরনের ইত্যাদি একই রকম বা অভিন্ন বস্তু থাকে, তবে এই \( n \) বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাসের সংখ্যা:
\[ \frac{n!}{p! \times q! \times r! \times \cdots} \]
যেখানে \( p + q + r + \cdots = n \)
উদাহরণ ৬:
শব্দ \( BANANA \) এর অক্ষরগুলো দিয়ে কতগুলো বিভিন্ন শব্দ তৈরি করা যায়?
সমাধান:
মোট অক্ষর \( n = 6 \)
অক্ষর \( A \) আছে ৩টি (\( p = 3 \))
অক্ষর \( N \) আছে ২টি (\( q = 2 \))
অক্ষর \( B \) আছে ১টি (\( r = 1 \))
\[ \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60 \]
২. \( n \) সংখ্যক ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি নিয়ে বিন্যাস (পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত)
যদি প্রতিটি বস্তু একাধিকবার ব্যবহার করা যায় (পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত), তবে \( n \) ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা:
\[ n^r \]
কারণ প্রতিটি স্থান \( n \) উপায়ে পূরণ করা যায় এবং মোট \( r \)টি স্থান আছে।
উদাহরণ ৭:
১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে ৪ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় (যদি অঙ্ক পুনরাবৃত্তি করা যায়)?
সমাধান:
এখানে \( n = 9 \), \( r = 4 \)
\[ 9^4 = 6561 \]
বৃত্তাকার বিন্যাস (Circular Permutation)
সংজ্ঞা
যখন বস্তুগুলোকে একটি সরল রেখায় নয়, বরং একটি বৃত্তের পরিধিতে সাজানো হয়, তখন তাকে বৃত্তাকার বিন্যাস বলা হয়।
বৃত্তাকার বিন্যাসের সূত্র
সরল বিন্যাস ও বৃত্তাকার বিন্যাসের মধ্যে পার্থক্য হলো—বৃত্তাকার বিন্যাসে কোনো নির্দিষ্ট প্রান্তবিন্দু নেই। একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে ধরে বাকিগুলোকে সাজালে বা সম্পূর্ণ বিন্যাসকে ঘোরালে একই বিন্যাস গঠিত হয়।
ক্ষেত্র ১: ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক ভিন্ন বলে গণ্য
\( n \) ভিন্ন বস্তুকে একটি বৃত্তে সাজানোর উপায়:
\[ (n-1)! \]
ক্ষেত্র ২: ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক একই বলে গণ্য (যেমন—হার বা মালা গাঁথা)
যদি ঘোরানোর ফলে একই বিন্যাস না হয়, তবে:
\[ \frac{(n-1)!}{2} \]
উদাহরণ ৮:
৪ জন ছাত্রকে একটি গোলাকার টেবিলের চারপাশে বসানোর কতগুলো উপায় আছে?
সমাধান:
\[ (4-1)! = 3! = 6 \]
উদাহরণ ৯:
৫টি ভিন্ন রঙের মনি দিয়ে একটি মালা গাঁথার কতগুলো উপায় আছে?
সমাধান:
মালা উল্টালে একই মালা হয়, তাই:
\[ \frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]
নিষেধাজ্ঞা সহ বিন্যাস (Permutations with Restrictions)
অনেক সময় বিন্যাসের উপর কিছু শর্ত বা নিষেধাজ্ঞা থাকে। যেমন—কোনো নির্দিষ্ট বস্তু নির্দিষ্ট স্থানে বসতে হবে বা কোনো দুটি বস্তু একসাথে বসতে পারবে না ইত্যাদি।
১. নির্দিষ্ট বস্তু নির্দিষ্ট স্থানে
যদি কোনো একটি বস্তু নির্দিষ্ট একটি স্থানে বসতে বাধ্য থাকে, তবে ঐ স্থান পূরণ করার উপায় ১টি এবং বাকি \( (n-1) \) বস্তুকে বাকি \( (n-1) \) স্থানে সাজানোর উপায় \( (n-1)! \)।
২. নির্দিষ্ট বস্তুগুলো একসাথে থাকবে
যদি \( r \)টি নির্দিষ্ট বস্তু সর্বদা একসাথে থাকতে হয়, তবে ঐ \( r \) বস্তুকে একটি বস্তু ধরে মোট \( (n-r+1) \) বস্তুর বিন্যাস হয় \( (n-r+1)! \) উপায়ে। এরপর ঐ \( r \) বস্তুর অভ্যন্তরীণ বিন্যাস \( r! \) উপায়ে।
সুতরাং মোট বিন্যাস = \( (n-r+1)! \times r! \)
৩. নির্দিষ্ট বস্তুগুলো একসাথে থাকবে না
মোট বিন্যাস থেকে ঐ বস্তুগুলো একসাথে থাকা বিন্যাস বিয়োগ করলে পাওয়া যায়।
মোট বিন্যাস \( - \) (বস্তুগুলো একসাথে থাকলে বিন্যাস)
উদাহরণ ১০:
শব্দ \( PERMUTATION \) এর অক্ষরগুলো দিয়ে কতগুলো শব্দ তৈরি করা যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একসাথে থাকবে?
সমাধান:
মোট অক্ষর = ১০টি
স্বরবর্ণ: \( E, U, A, I, O \) = ৫টি
ব্যঞ্জনবর্ণ: ৫টি
৫টি স্বরবর্ণকে একটি বস্তু ধরলে মোট বস্তু = \( 5 + 1 = 6 \)টি
৬ বস্তুর বিন্যাস = \( 6! \)
৫ স্বরবর্ণের অভ্যন্তরীণ বিন্যাস = \( 5! \)
সুতরাং মোট বিন্যাস = \( 6! \times 5! = 720 \times 120 = 86400 \)
উদাহরণ ১১:
১, ২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো দিয়ে কতগুলো ৫ অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যায় যেখানে ১ ও ২ একসাথে থাকবে না?
সমাধান:
মোট বিন্যাস = \( 5! = 120 \)
১ ও ২ একসাথে থাকলে (একটি বস্তু ধরে):
মোট বস্তু = ৪টি, বিন্যাস = \( 4! = 24 \)
১ ও ২ এর অভ্যন্তরীণ বিন্যাস = \( 2! = 2 \)
১ ও ২ একসাথে থাকা বিন্যাস = \( 24 \times 2 = 48 \)
১ ও ২ একসাথে না থাকা বিন্যাস = \( 120 - 48 = 72 \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
বিন্যাসের সূত্র
\[ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \]
সব বস্তুর বিন্যাস
\[ ^nP_n = n! \]
পুনরাবৃত্তি সহ
\[ \frac{n!}{p!q!r!} \]
পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত
\[ n^r \]
বৃত্তাকার বিন্যাস
\[ (n-1)! \]
(ঘড়ির কাঁটার দিক ভিন্ন)
মালা/হার
\[ \frac{(n-1)!}{2} \]
মুখস্থ করার তালিকা
- বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, সমাবেশে নয়।
- \( n! = n \times (n-1)! \) এবং \( 0! = 1 \)
- \( ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \)
- পুনরাবৃত্তিসহ সব বস্তুর বিন্যাস = \( \frac{n!}{p!q!r!} \)
- পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত হলে \( n^r \)
- বৃত্তাকার বিন্যাসে স্থির বিন্দু নেই, তাই \( (n-1)! \)
- নিষেধাজ্ঞা সহ সমস্যায়: সম্পূর্ণ বিন্যাস \( - \) নিষিদ্ধ বিন্যাস