অব্যক্ত ফাংশন ও পরামিতিক সমীকরণের অন্তরজ
অনেক সময় আমরা এমন সমীকরণের সম্মুখীন হই যেখানে \( y \) কে সরাসরি \( x \) এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা কঠিন বা অসম্ভব। যেমন \( x^2 + y^2 = 25 \) বা \( x^3 + y^3 = 3axy \)। এই ধরনের সমীকরণ যেখানে \( x \) ও \( y \) একসাথে মিশে থাকে, তাকে অব্যক্ত বা অন্তর্নিহিত ফাংশন (Implicit Function) বলে। এছাড়াও যখন \( x \) ও \( y \) উভয়ই কোনো তৃতীয় চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তাকে পরামিতিক সমীকরণ (Parametric Equations) বলে। এই অধ্যায়ে আমরা এই দুই ধরনের সমীকরণের অন্তরজ কীভাবে নির্ণয় করা যায় এবং কীভাবে তাদের দ্বিতীয় অন্তরজ বের করা যায় তা শিখব।
অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ (Implicit Differentiation)
সমস্যাটি কী?
সাধারণত আমরা \( y = f(x) \) আকারের ফাংশন নিয়ে কাজ করি, যেখানে \( y \) সরাসরি \( x \) এর একটি রাশি। কিন্তু বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 = r^2 \) কে যদি \( y \) এর জন্য সমাধান করতে চাই, পাই \( y = \pm\sqrt{r^2 - x^2} \), যা দুটি পৃথক ফাংশন। এখানে সমীকরণটি অব্যক্ত আকারে রাখলে কাজ সহজ হয়।
পদ্ধতির মূলনীতি
অব্যক্ত সমীকরণের উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হয়। এখানে মূল কথা হলো, যখনই \( y \) এর সাথে অন্তরীকরণ করব, সেখানে চেইন রুল অনুযায়ী \( \frac{dy}{dx} \) গুণ করতে হবে। কারণ আমরা ধরে নিচ্ছি \( y \) হলো \( x \) এর একটি ফাংশন, যদিও সেটি সরাসরি প্রকাশিত নয়।
মনে রাখুন:
\[ \frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx} \]
\[ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx} \] (গুণফলের সূত্র)
ধাপসমূহ
- সমীকরণের উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করুন।
- \( y \) বা \( y \) এর ফাংশনের অন্তরজ করার সময় সর্বদা \( \frac{dy}{dx} \) গুণ করুন।
- সকল \( \frac{dy}{dx} \) যুক্ত পদ একপাশে নিয়ে বাকি পদ অন্যপাশে রাখুন।
- \( \frac{dy}{dx} \) কে বের করে ফেলুন।
উদাহরণ ১:
বৃত্তের সমীকরণ \( x^2 + y^2 = 25 \) থেকে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25) \]
\[ 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]
\[ 2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x \]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]
দেখা যাচ্ছে যে বৃত্তের কোনো বিন্দু \( (x,y) \) এ স্পর্শকের ঢাল হলো \( -\frac{x}{y} \)।
উদাহরণ ২:
\( x^3 + y^3 = 3axy \) (ডেকার্টেসের পাতা) থেকে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
উভয় পক্ষে অন্তরীকরণ:
\[ 3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 3a\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) \]
বন্ধনী খুলে:
\[ 3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 3ay + 3ax\frac{dy}{dx} \]
\( \frac{dy}{dx} \) যুক্ত পদ একপাশে:
\[ 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 3ax\frac{dy}{dx} = 3ay - 3x^2 \]
\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 - 3ax) = 3(ay - x^2) \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax} \]
উদাহরণ ৩ (ত্রিকোণমিতিক):
\( \sin y = x\cos(a+y) \) থেকে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
উভয় পক্ষে অন্তরীকরণ:
\[ \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos(a+y) + x[-\sin(a+y)]\frac{dy}{dx} \]
\( \frac{dy}{dx} \) যুক্ত পদ একপাশে:
\[ \cos y \cdot \frac{dy}{dx} + x\sin(a+y)\frac{dy}{dx} = \cos(a+y) \]
\[ \frac{dy}{dx}[\cos y + x\sin(a+y)] = \cos(a+y) \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos(a+y)}{\cos y + x\sin(a+y)} \]
অব্যক্ত ফাংশনের দ্বিতীয় অন্তরজ (Second Derivative)
দ্বিতীয় অন্তরজ \( \frac{d^2y}{dx^2} \) নির্ণয় করতে হলে প্রথম অন্তরজ \( \frac{dy}{dx} \) কে আবার \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হয়। এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে \( \frac{dy}{dx} \) এর মানে \( y \) এর উপর নির্ভরশীল এবং \( y \) আবার \( x \) এর ফাংশন।
উদাহরণ ৪:
\( x^2 + y^2 = a^2 \) থেকে \( \frac{d^2y}{dx^2} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
প্রথম অন্তরজ:
\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]
আবার অন্তরীকরণ (ভাগফলের সূত্র):
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y \cdot 1 - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2} \]
\[ = -\frac{y - x(-\frac{x}{y})}{y^2} \]
\[ = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} \]
\[ = -\frac{\frac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} \]
\[ = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} \]
যেহেতু \( x^2 + y^2 = a^2 \):
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{a^2}{y^3} \]
পরামিতিক সমীকরণের অন্তরজ (Parametric Differentiation)
পরিচিতি
যখন \( x \) ও \( y \) উভয়ই একটি তৃতীয় চলক \( t \) (পরামিতি) এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়:
\[ x = f(t), \quad y = g(t) \]
তখন চেইন রুল ব্যবহার করে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \]
শর্ত: \( \frac{dx}{dt} \neq 0 \)
দ্বিতীয় অন্তরজের জন্য সূত্র
মনে রাখতে হবে যে \( \frac{d^2y}{dx^2} \) মানে \( \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \), কিন্তু \( \frac{dy}{dx} \) এখন \( t \) এর ফাংশন। সুতরাং:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} \]
উদাহরণ ৫:
\( x = a\cos\theta \), \( y = b\sin\theta \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) এবং \( \frac{d^2y}{dx^2} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
প্রথম অন্তরজ:
\[ \frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = b\cos\theta \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{b\cos\theta}{-a\sin\theta} = -\frac{b}{a}\cot\theta \]
দ্বিতীয় অন্তরজ:
\[ \frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -\frac{b}{a}(-\csc^2\theta) = \frac{b}{a}\csc^2\theta \]
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2\theta}{-a\sin\theta} = -\frac{b}{a^2}\csc^3\theta \]
উদাহরণ ৬:
\( x = at^2 \), \( y = 2at \) হলে \( \frac{d^2y}{dx^2} \) নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{dx}{dt} = 2at, \quad \frac{dy}{dt} = 2a \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} = t^{-1} \]
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2} \]
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{t^2}}{2at} = -\frac{1}{2at^3} \]
বিশেষ প্রয়োগ ও সূত্রাবলী
অব্যক্ত ফাংশনে স্পর্শকের সমীকরণ
কোনো বক্ররেখার \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল হলো \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1,y_1)} \)।
উদাহরণস্বরূপ, বৃত্ত \( x^2 + y^2 = a^2 \) এর \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( -\frac{x_1}{y_1} \)।
সুতরাং স্পর্শকের সমীকরণ:
\[ y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x - x_1) \]
\[ yy_1 - y_1^2 = -xx_1 + x_1^2 \]
\[ xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2 = a^2 \]
পরামিতিক আকারে স্পর্শক
পরামিতিক সমীকরণের ক্ষেত্রে \( t = t_1 \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=t_1} \) এবং স্পর্শকের সমীকরণ:
\[ y - g(t_1) = \frac{g'(t_1)}{f'(t_1)}[x - f(t_1)] \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
অব্যক্ত অন্তরীকরণ
উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ
\( y \) এর ফাংশন হলে \( \frac{dy}{dx} \) গুণ করুন
যেমন: \( \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx} \)
দ্বিতীয় অন্তরজ (অব্যক্ত)
প্রথম অন্তরজকে আবার অন্তরীকরণ
মনে রাখুন \( y \) এবং \( \frac{dy}{dx} \) উভয়ই \( x \) এর ফাংশন
পরামিতিক অন্তরীকরণ
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \]
\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(dy/dx)/dt}{dx/dt} \]
সতর্কতা ও পরামর্শ
- অব্যক্ত অন্তরীকরণে \( \frac{dy}{dx} \) বের করার পর সেটা যদি \( y \) অন্তর্ভুক্ত থাকে, সমীকরণ থেকে প্রতিস্থাপন করে সরল করা যেতে পারে
- দ্বিতীয় অন্তরজে ভাগফলের সূত্র সাবধানে প্রয়োগ করুন
- পরামিতিক ক্ষেত্রে \( \frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} \) (এটি ভুল), সঠিক সূত্র ব্যবহার করুন
- সবসময় শেষে উত্তরকে পরামিতি ছাড়া \( x \) ও \( y \) এর আকারে (যদি সম্ভব) বা দেওয়া শর্ত অনুযায়ী প্রকাশ করুন