৪. অন্তরীকরণ (Differentiation)
অন্তরীকরণ হলো ক্যালকুলাসের মৌলিক ভাবনা যা পরিবর্তনের হার নির্ণয় করে। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে একটি ফাংশনের বারবার অন্তরজ নির্ণয় করা যায় (পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ), বিভিন্ন প্রতীকের ব্যবহার, মৌলিক ফাংশনগুলোর অন্তরজ এবং ম্যাকলরিনের উপপাদ্য ব্যবহার করে ফাংশনের বিস্তৃতি নির্ণয়ের পদ্ধতি।
অন্তরজের আদর্শ প্রতীক (Standard Notations)
বিভিন্ন গণিতবিদ অন্তরজ প্রকাশের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করেছেন। HSC পর্যায়ে নিচের প্রতীকগুলোর সাথে আমাদের পরিচিত হতে হবে:
১. লাইবনিত্জের প্রতীক (Leibniz's Notation)
সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত পদ্ধতি। এখানে \(y\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা হলে লেখা হয়:
প্রথম অন্তরজ: \(\frac{dy}{dx}\) বা \(\frac{d}{dx}(y)\)
দ্বিতীয় অন্তরজ: \(\frac{d^2y}{dx^2}\)
তৃতীয় অন্তরজ: \(\frac{d^3y}{dx^3}\)
\(n\) তম অন্তরজ: \(\frac{d^n y}{dx^n}\)
২. ল্যাগ্রাঞ্জের প্রতীক (Lagrange's Notation)
ফাংশন \(f(x)\) এর ক্ষেত্রে:
- প্রথম অন্তরজ: \(f'(x)\) বা \(y'\)
- দ্বিতীয় অন্তরজ: \(f''(x)\) বা \(y''\)
- তৃতীয় অন্তরজ: \(f'''(x)\) বা \(y'''\)
- \(n\) তম অন্তরজ: \(f^{(n)}(x)\) বা \(y_n\) (বিশেষ করে পর্যায়ক্রমিক অন্তরজে)
৩. নিউটনের প্রতীক (Newton's Notation)
মূলত সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার বোঝাতে ব্যবহৃত হয়:
\(\dot{y}\) ( ওয়াই ডট) = \(\frac{dy}{dt}\)
\(\ddot{y}\) ( ওয়াই ডবল ডট) = \(\frac{d^2y}{dt^2}\)
৪. অপারেটর প্রতীক (Operator Notation)
বিশেষ করে সমীকরণ সমাধানে:
- \(D_x y\) বা \(Dy\) = \(\frac{dy}{dx}\)
- \(D_x^2 y\) বা \(D^2 y\) = \(\frac{d^2y}{dx^2}\)
- সাধারণত \(D \equiv \frac{d}{dx}\)
পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ (Successive Differentiation)
একটি ফাংশনের অন্তরজ নেওয়ার পর যে নতুন ফাংশন পাওয়া যায়, তার আবার অন্তরজ নিলে দ্বিতীয় অন্তরজ পাওয়া যায়। এইভাবে বারবার অন্তরজ নেওয়াকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ বলে।
সংজ্ঞা ও ধারণা
ধরা যাক \(y = f(x)\) একটি ফাংশন:
- প্রথম অন্তরজ: \(\frac{dy}{dx}\) বা \(y_1\) বা \(y'\)
- দ্বিতীয় অন্তরজ: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}\) বা \(y_2\) বা \(y''\)
- তৃতীয় অন্তরজ: \(\frac{d^3y}{dx^3}\) বা \(y_3\) বা \(y'''\)
- \(n\) তম অন্তরজ: \(\frac{d^n y}{dx^n}\) বা \(y_n\) বা \(f^{(n)}(x)\)
কিছু আদর্শ ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ
১. ঘাতীয় ফাংশন \(y = x^m\) এর ক্ষেত্রে:
\(y_n = m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)x^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\)
বিশেষত, যদি \(m = n\) হয়, তবে \(y_n = n!\)
যদি \(m < n\) হয়, তবে \(y_n = 0\)
২. ঘাতাঙ্কীয় ফাংশন \(y = e^{ax}\) এর ক্ষেত্রে:
\(y_n = a^n e^{ax} = a^n y\)
বিশেষভাবে, \(y = e^x\) হলে \(y_n = e^x\)
৩. ত্রিকোণমিতিক ফাংশন:
যদি \(y = \sin(ax + b)\) হয়:
\(y_n = a^n \sin\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)\)
যদি \(y = \cos(ax + b)\) হয়:
\(y_n = a^n \cos\left(ax + b + \frac{n\pi}{2}\right)\)
৪. লঘারিদমিক ফাংশন \(y = \ln x\) এর ক্ষেত্রে:
\(y_n = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}\)
উদাহরণ ১:
প্রমাণ করো যে \(y = e^x \sin x\) এর \(n\) তম অন্তরজ:
\(y_n = (\sqrt{2})^n e^x \sin\left(x + \frac{n\pi}{4}\right)\)
সমাধান:
প্রথম অন্তরজ: \(y_1 = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)\)
\(= e^x \cdot \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) [যেহেতু \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)]
দ্বিতীয় অন্তরজ নিলে:
\(y_2 = \sqrt{2}\left[e^x \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + e^x \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right]\)
\(= \sqrt{2} \cdot e^x \cdot \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2})^2 e^x \sin\left(x + \frac{2\pi}{4}\right)\)
এইভাবে চলতে থাকলে \(n\) তম ধাপে:
\(y_n = (\sqrt{2})^n e^x \sin\left(x + \frac{n\pi}{4}\right)\) [প্রমাণিত]
উদাহরণ ২:
যদি \(y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 5x - 7\) হয়, তবে \(y_5\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(y_1 = 4x^3 - 9x^2 + 4x + 5\)
\(y_2 = 12x^2 - 18x + 4\)
\(y_3 = 24x - 18\)
\(y_4 = 24\)
\(y_5 = 0\) [কারণ চতুর্থ ঘাতের বহুপদীর পঞ্চম অন্তরজ শূন্য]
কয়েকটি আদর্শ ফাংশনের অন্তরজ
নিচের সূত্রগুলো মুখস্থ না করলেও অন্তরীকরণের নিয়মগুলো জানা থাকলে সহজেই বের করা যায়। তবে দ্রুত সমাধানের জন্য এগুলোর সাথে পরিচিত থাকা জরুরি।
বীজগাণিতিক ফাংশন
| ফাংশন \(f(x)\) | অন্তরজ \(f'(x)\) | শর্ত |
|---|---|---|
| কনস্ট্যান্ট \(c\) | \(0\) | |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(n \in \mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x}\) বা \(x^{1/2}\) | \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(x > 0\) |
| \(\frac{1}{x}\) বা \(x^{-1}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) | \(x \neq 0\) |
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
মৌলিক সূত্র
\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
\(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)
\(\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x\)
\(\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x\)
\(\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x\)
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}\)
\(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
\(\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)
ঘাতাঙ্কিক ও লঘারিদমিক ফাংশন
- \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\) [সবচেয়ে বিস্ময়কর ফাংশন, নিজেরই অন্তরজ]
- \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)
- \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
- \(\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\)
হাইপারবোলিক ফাংশন (Hyperbolic Functions)
HSC উচ্চতর গণিতে হাইপারবোলিক ফাংশনও পড়তে হয়:
\(\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x\)
\(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\)
\(\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x\)
\(\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(\frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}\) (\(|x| < 1\))
ম্যাকলরিনের উপপাদ্য (Maclaurin's Theorem)
ম্যাকলরিনের উপপাদ্য হলো টেইলরের উপপাদ্যের একটি বিশেষ রূপ যেখানে ফাংশনটিকে \(x = 0\) বিন্দুর চারপাশে বিস্তৃত করা হয়। এটি দিয়ে কোনো ফাংশনকে শক্তিধারা (Power Series) আকারে প্রকাশ করা যায়।
উপপাদ্যের বিবরণ
যদি \(f(x)\) একটি ফাংশন হয় যা \(x = 0\) বিন্দুতে এবং এর আশেপাশের বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য, তবে:
\(f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \frac{x^3}{3!}f'''(0) + \dots + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0) + \dots\)
সংক্ষেপে: \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)\)
যেখানে \(f^{(n)}(0)\) হলো \(f(x)\) এর \(n\) তম অন্তরজের \(x = 0\) এ মান।
গুরুত্বপূর্ণ বিস্তৃতি (Important Expansions)
১. ঘাতাঙ্কিক ফাংশন \(e^x\) এর বিস্তৃতি:
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\) (সকল \(x\) এর জন্য প্রযোজ্য)
বা, \(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
২. ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিস্তৃতি:
\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\)
৩. লঘারিদমিক ফাংশনের বিস্তৃতি:
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\) (\(-1 < x \leq 1\))
\(\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots\) (\(-1 \leq x < 1\))
৪. দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion):
\((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots\)
যেখানে \(n\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং \(|x| < 1\)
উদাহরণ ১:
ম্যাকলরিনের উপপাদ্য প্রয়োগ করে \(\sin x\) এর বিস্তৃতি নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি \(f(x) = \sin x\), তাহলে \(f(0) = 0\)
\(f'(x) = \cos x\), সুতরাং \(f'(0) = 1\)
\(f''(x) = -\sin x\), সুতরাং \(f''(0) = 0\)
\(f'''(x) = -\cos x\), সুতরাং \(f'''(0) = -1\)
\(f^{(4)}(x) = \sin x\), সুতরাং \(f^{(4)}(0) = 0\)
\(f^{(5)}(x) = \cos x\), সুতরাং \(f^{(5)}(0) = 1\)
ম্যাকলরিনের সূত্রে বসিয়ে:
\(\sin x = 0 + x(1) + \frac{x^2}{2!}(0) + \frac{x^3}{3!}(-1) + \frac{x^4}{4!}(0) + \frac{x^5}{5!}(1) - \dots\)
\(\therefore \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
উদাহরণ ২:
\(e^{2x}\) এর ম্যাকলরিন বিস্তৃতি প্রথম চারটি পদ পর্যন্ত নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(f(x) = e^{2x}\), সুতরাং \(f(0) = 1\)
\(f'(x) = 2e^{2x}\), সুতরাং \(f'(0) = 2\)
\(f''(x) = 4e^{2x}\), সুতরাং \(f''(0) = 4\)
\(f'''(x) = 8e^{2x}\), সুতরাং \(f'''(0) = 8\)
সূত্র প্রয়োগ করে:
\(e^{2x} \approx 1 + x(2) + \frac{x^2}{2}(4) + \frac{x^3}{6}(8) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3}\)
প্রয়োগ (Applications)
- আসন্ন মান নির্ণয়: ছোট \(x\) এর মানের জন্য সাইন, কোসাইন, ঘাতাঙ্কিক ইত্যাদির আসন্ন মান বের করা।
- সংখ্যার আসন্নিকরণ: যেমন \(e^{0.1}\), \(\sin(0.2)\) ইত্যাদি হাতে হিসাব করা।
- সমাকলনে সাহায্য: কিছু জটিল ফাংশনের সমাকলন শক্তিধারা হিসাবে করে নেওয়া।
- পদার্থবিজ্ঞানে: কম্পন, তরঙ্গ ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে বিস্তৃতি ব্যবহৃত হয়।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- অন্তরজের প্রতীক: লাইবনিত্জ \(\frac{dy}{dx}\), ল্যাগ্রাঞ্জ \(f'(x)\), এবং নিউটন \(\dot{y}\) সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
- পর্যায়ক্রমিক অন্তরজ: \(y_n\) বা \(\frac{d^n y}{dx^n}\) দ্বারা \(n\) তম অন্তরজ প্রকাশ করা হয়। \(e^{ax}\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(a^n e^{ax}\) এবং \(\sin(ax+b)\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(a^n \sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})\)।
- স্ট্যান্ডার্ড অন্তরজ: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\), \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\), \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\) ইত্যাদি মৌলিক সূত্র মনে রাখতে হবে।
- ম্যাকলরিনের উপপাদ্য: \(f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \dots\) সূত্রটি শক্তিধারা বিস্তৃতির জন্য ব্যবহৃত হয়।
- ম্যাকলরিন সিরিজ ব্যবহার করে \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\) ইত্যাদির বিস্তৃতি সহজেই লিখতে পারি।