সঞ্চারপথ (Locus)
সঞ্চারপথ (Locus) হলো স্থানাঙ্ক জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণা যা কোনো নির্দিষ্ট শর্তাধীন চলন্ত বিন্দুর গমনপথ বা স্থান নির্দেশ করে। এই অধ্যায়ে আমরা সঞ্চারপথের সংজ্ঞা, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয়ের পদ্ধতি এবং বিভিন্ন মানক সঞ্চারপথ যেমন—বৃত্ত, সরলরেখা, পরাবৃত্ত, লম্ব সমদ্বিখণ্ডক ও কোণ সমদ্বিখণ্ডক ইত্যাদি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব। এছাড়াও বিভিন্ন জ্যামিতিক শর্তের উপর ভিত্তি করে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয়ের কৌশল শেখা হবে।
সঞ্চারপথের সংজ্ঞা ও ধারণা (Definition of Locus)
সংজ্ঞা
সমতলে কোনো চলন্ত বিন্দু নির্দিষ্ট কোনো জ্যামিতিক শর্ত বা বিধি অনুসরণ করে যতগুলো বিন্দু অতিক্রম করে, সেই সকল বিন্দুর সেট বা সংগ্রহকে সঞ্চারপথ (Locus) বলা হয়। অর্থাৎ, কোনো চলন্ত বিন্দুর গমনপথের সকল বিন্দুর সৃষ্ট বক্ররেখাকে সঞ্চারপথ বলে।
যদি \( P(x, y) \) একটি চলন্ত বিন্দু হয় এবং এটি কোনো নির্দিষ্ট শর্তাধীন চলাচল করে, তবে \( P \) বিন্দুর সকল অবস্থানের সংকলনই হলো সঞ্চারপথ।
সঞ্চারপথের সমীকরণ (Equation of Locus)
চলন্ত বিন্দু \( P(x, y) \) এর স্থানাঙ্কের মধ্যে যে সম্পর্ক বা সমীকরণ বিদ্যমান থাকে তাকে সঞ্চারপথের সমীকরণ বলা হয়। সাধারণত এটি \( x \) এবং \( y \) এর একটি সমীকরণ \( f(x, y) = 0 \) আকারে প্রকাশিত হয়।
সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয়ের পদ্ধতি (Method of Finding Locus)
কোনো সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:
পদ্ধতির ধাপসমূহ:
- চলন্ত বিন্দু নির্ধারণ: ধরা যাক চলন্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) বা \( (h, k) \)।
- প্রদত্ত শর্ত প্রয়োগ: প্রদত্ত জ্যামিতিক শর্ত বা সম্পর্ককে বীজগাণিতিক চিহ্নে প্রকাশ করা। যেমন—দূরত্ব, ঢাল, কোণ ইত্যাদি।
- সমীকরণ গঠন: শর্ত অনুযায়ী সমীকরণ গঠন করা।
- সরলীকরণ: অপ্রয়োজনীয় চলকসমূহ (parameter) বাদ দিয়ে \( x \) এবং \( y \) এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা।
- পরীক্ষা: নির্ণীত সমীকরণটি প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে কিনা পরীক্ষা করা।
সাহায্যকারী সূত্রাবলী
- দুই বিন্দু \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব: \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
- বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে সরলরেখা \( ax + by + c = 0 \) এর দূরত্ব: \( \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
- দুই বিন্দুর সংযোগ রেখার ঢাল: \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)
- দুই রেখার মধ্যবর্তী কোণ: \( \tan\theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right| \)
মানক সঞ্চারপথসমূহ (Standard Loci)
১. নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুর সঞ্চারপথ (Circle)
একটি চলন্ত বিন্দু নির্দিষ্ট বিন্দু \( (a, b) \) থেকে সর্বদা \( r \) একক দূরত্বে অবস্থান করলে তার সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত হয়।
সমীকরণ:
\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]
বা,
\[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2+b^2-r^2) = 0 \]
এটি কেন্দ্র \( (a, b) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ।
২. দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ (Perpendicular Bisector)
একটি চলন্ত বিন্দু দুই নির্দিষ্ট বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) থেকে সর্বদা সমদূরত্বে অবস্থান করলে তার সঞ্চারপথ \( AB \) রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
সমীকরণ:
\[ (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 \]
সরলীকরণ করে:
\[ 2(x_2-x_1)x + 2(y_2-y_1)y + (x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2) = 0 \]
৩. নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব সমান (Parabola)
একটি চলন্ত বিন্দু নির্দিষ্ট বিন্দু \( (a, 0) \) এবং নির্দিষ্ট সরলরেখা \( x = -a \) থেকে সমদূরত্বে অবস্থান করলে তার সঞ্চারপথ একটি পরাবৃত্ত (Parabola)।
সমীকরণ:
\[ y^2 = 4ax \]
৪. দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের অনুপাত ধ্রুব (Circle of Apollonius)
যদি চলন্ত বিন্দু \( P \) দুই নির্দিষ্ট বিন্দু \( A \) এবং \( B \) থেকে দূরত্বের অনুপাত \( PA : PB = m : n \) (যেখানে \( m \neq n \)) ধ্রুব থাকে, তবে সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত হয়, যাকে অ্যাপোলোনিয়াসের বৃত্ত বলে।
যদি \( m = n \) হয়, তবে সঞ্চারপথ সরলরেখা (লম্ব সমদ্বিখণ্ডক) হয়।
৫. দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের সমষ্টি ধ্রুব (Ellipse)
যদি চলন্ত বিন্দু \( P \) দুই নির্দিষ্ট বিন্দু \( F_1 \) এবং \( F_2 \) থেকে দূরত্বের সমষ্টি \( PF_1 + PF_2 = 2a \) ধ্রুব হয় (যেখানে \( 2a > F_1F_2 \)), তবে সঞ্চারপথ একটি দীর্ঘবৃত্ত (Ellipse)।
৬. দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের বিয়োগফল ধ্রুব (Hyperbola)
যদি চলন্ত বিন্দু \( P \) দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের পার্থক্য \( |PF_1 - PF_2| = 2a \) ধ্রুব হয়, তবে সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত (Hyperbola)।
৭. নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে ধ্রুব দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুর সঞ্চারপথ
একটি চলন্ত বিন্দু সরলরেখা \( ax + by + c = 0 \) থেকে সর্বদা \( d \) দূরত্বে অবস্থান করলে তার সঞ্চারপথ দুটি সমান্তরাল সরলরেখা:
\[ ax + by + c = \pm d\sqrt{a^2+b^2} \]
বিস্তারিত উদাহরণ ও সমাধান
উদাহরণ ১ (সমদূরত্ব শর্ত):
একটি চলন্ত বিন্দু \( (2, 3) \) এবং \( (4, 5) \) থেকে সমদূরত্বে অবস্থান করে। তার সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, চলন্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \)।
শর্ত অনুযায়ী:
\[ \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-5)^2} \]
উভয় পক্ষকে বর্গ করে:
\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2 \]
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 \]
\[ -4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41 \]
\[ 4x + 4y - 28 = 0 \]
\[ x + y - 7 = 0 \]
নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ: \( x + y = 7 \) (যা \( (2,3) \) এবং \( (4,5) \) এর সংযোগ রেখার লম্ব সমদ্বিখণ্ডক)।
উদাহরণ ২ (দূরত্বের অনুপাত):
একটি চলন্ত বিন্দু \( (0, 0) \) এবং \( (4, 0) \) থেকে দূরত্বের অনুপাদ সর্বদা \( 1:3 \) হয়। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, চলন্ত বিন্দু \( (x, y) \)।
শর্ত:
\[ \frac{\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2}}{\sqrt{(x-4)^2 + (y-0)^2}} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{1}{3} \]
বর্গ করে:
\[ \frac{x^2 + y^2}{(x-4)^2 + y^2} = \frac{1}{9} \]
\[ 9(x^2 + y^2) = (x-4)^2 + y^2 \]
\[ 9x^2 + 9y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 \]
\[ 8x^2 + 8y^2 + 8x - 16 = 0 \]
\[ x^2 + y^2 + x - 2 = 0 \]
\[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{9}{4} \]
এটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র \( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) এবং ব্যাসার্ধ \( \frac{3}{2} \)।
উদাহরণ ৩ (ঢালের শর্ত):
একটি চলন্ত বিন্দু \( (1, 2) \) এবং \( (3, 4) \) এর সংযোগ রেখার উপর অঙ্কিত ঢাল সর্বদা \( 2 \) হলে সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে শর্মাটি স্পষ্ট নয়। ধরা যাক চলন্ত বিন্দু \( (x, y) \) থেকে \( (1, 2) \) এবং \( (3, 4) \) এর সংযোগ রেখার ঢালের সম্পর্ক দেওয়া আছে।
বিকল্প ব্যাখ্যা: চলন্ত বিন্দু \( (x, y) \) এবং \( (1, 2) \) এর সংযোগ রেখার ঢাল \( 2 \)।
\[ \frac{y-2}{x-1} = 2 \]
\[ y - 2 = 2(x - 1) \]
\[ y = 2x \]
সুতরাং সঞ্চারপথ সরলরেখা \( y = 2x \)।
উদাহরণ ৪ (দূরত্বের সমষ্টি):
একটি চলন্ত বিন্দু \( (c, 0) \) এবং \( (-c, 0) \) থেকে দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \( 2a \) হলে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর, যেখানে \( a > c \)।
সমাধান:
ধরি, চলন্ত বিন্দু \( (x, y) \)।
\[ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a \]
একটি পদ অন্যপাশে নিয়ে বর্গ করা:
\[ (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} + (x+c)^2 + y^2 \]
\[ x^2 - 2cx + c^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} + x^2 + 2cx + c^2 \]
\[ -4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2} \]
\[ a\sqrt{(x+c)^2+y^2} = a^2 + cx \]
আবার বর্গ করে:
\[ a^2(x^2+2cx+c^2+y^2) = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2 \]
\[ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 = a^4 + c^2x^2 \]
\[ (a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2-c^2) \]
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \]
ধরি \( b^2 = a^2 - c^2 \), তাহলে:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
এটি একটি দীর্ঘবৃত্তের মানক সমীকরণ।
উদাহরণ ৫ (কোণের শর্ত):
একটি চলন্ত বিন্দু \( (0, 0) \) এবং \( (a, 0) \) এর সংযোগ রেখার সাথে সর্বদা \( 45^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, চলন্ত বিন্দু \( (x, y) \)।
\( (x, y) \) থেকে \( (0, 0) \) এর রেখার ঢাল \( m_1 = \frac{y}{x} \)
\( (x, y) \) থেকে \( (a, 0) \) এর রেখার ঢাল \( m_2 = \frac{y}{x-a} \)
কোণের সূত্র:
\[ \tan 45^\circ = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right| = 1 \]
\[ \frac{\frac{y}{x} - \frac{y}{x-a}}{1 + \frac{y^2}{x(x-a)}} = \pm 1 \]
\[ \frac{y(x-a) - yx}{x(x-a) + y^2} = \pm 1 \]
\[ \frac{-ay}{x^2 - ax + y^2} = \pm 1 \]
ধনাত্মক চিহ্ন:
\[ -ay = x^2 - ax + y^2 \]
\[ x^2 + y^2 - ax + ay = 0 \]
ঋণাত্মক চিহ্ন:
\[ -ay = -x^2 + ax - y^2 \]
\[ x^2 + y^2 - ax - ay = 0 \]
সুতরাং দুটি বৃত্ত হয় সঞ্চারপথ।
বিশেষ সঞ্চারপথ ও প্রয়োগ
সরলরেখিক তিনটি বিন্দুর শর্ত
তিনটি বিন্দু \( A, B, C \) সরলরেখিক হবে যদি \( C \) বিন্দুটি \( A \) এবং \( B \) এর সংযোগ রেখার উপর অবস্থিত হয়, অর্থাৎ \( C \) এর সঞ্চারপথ সরলরেখা \( AB \) হয়।
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রের সঞ্চারপথ
একটি ত্রিভুজের শীর্ষ ধ্রুব থাকলে পরিকেন্দ্রের সঞ্চারপথ নির্ণয় করা যায়। পরিকেন্দ্র তিনটি শীর্ষ থেকে সমদূরবর্তী।
অন্তঃকেন্দ্রের সঞ্চারপথ
দুইটি শীর্ষ ধ্রুব এবং তৃতীয় শীর্ষ একটি সরলরেখার উপর চলমান হলে অন্তঃকেন্দ্রের সঞ্চারপথ নির্ণয় করা যায়।
- বৃত্ত: কেন্দ্র \( (h, k) \), ব্যাসার্ধ \( a \) হলে \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 \)
- পরাবৃত্ত: কেন্দ্র \( (0,0) \), লাটাস রেক্টাম \( 4a \) হলে \( y^2 = 4ax \) বা \( x^2 = 4ay \)
- দীর্ঘবৃত্ত: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
- উপবৃত্ত: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
সংজ্ঞা
নির্দিষ্ট শর্তে চলন্ত বিন্দুর গমনপথ
বৃত্ত
\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]
নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ধ্রুব দূরত্ব
লম্ব সমদ্বিখণ্ডক
\[ (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 \]
দুই বিন্দু থেকে সমদূরত্ব
পরাবৃত্ত
\[ y^2 = 4ax \]
বিন্দু ও সরলরেখা থেকে সমদূরত্ব
দীর্ঘবৃত্ত
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
দুই বিন্দু থেকে দূরত্বের সমষ্টি ধ্রুব
উপবৃত্ত
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
দুই বিন্দু থেকে দূরত্বের পার্থক্য ধ্রুব
সমীকরণ নির্ণয়ের ধাপ
- চলন্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) ধরা।
- প্রদত্ত জ্যামিতিক শর্তকে বীজগাণিতিক রূপ দেওয়া।
- দূরত্ব, ঢাল বা কোণের সূত্র প্রয়োগ করা।
- সমীকরণ সরলীকরণ করে \( x \) ও \( y \) এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন।
- প্রয়োজনে পরিণতি (vertex, center ইত্যাদি) নির্ণয়।