রেখা বিভক্তকারী বিন্দু, ভরকেন্দ্র ও সামান্তরিকের স্থানাঙ্ক
এই অধ্যায়ে আমরা সরলরেখার উপর অবস্থিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের পদ্ধতি শিখব। বিশেষ করে অন্তর্বিভাজন ও বহির্বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে রেখাংশের নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা কেন্দ্রক নির্ণয়ের সূত্র এবং সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু নির্ণয়ের জন্য কর্ণের বৈশিষ্ট্য ব্যবহারের পদ্ধতি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।
রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Section Formula)
অন্তর্বিভাজন সূত্র (Internal Division)
ধরা যাক, সমতলে দুটি বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) অবস্থিত। একটি বিন্দু \( P(x, y) \) রেখাংশ \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত (internal division) করে, অর্থাৎ \( AP:PB = m:n \)।
আমরা বিন্দু \( A \) ও \( B \) থেকে \( x \)-অক্ষের উপর লম্ব \( AM \), \( BN \) এবং \( P \) থেকে \( PL \) অঙ্কন করি। তাহলে সমরূপ ত্রিভুজের সাহায্যে প্রমাণ করে পাই:
অন্তর্বিভাজন সূত্র:
\[ x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} \]
\[ y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \]
সুতরাং বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[ P\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
বহির্বিভাজন সূত্র (External Division)
যদি বিন্দু \( P \) রেখাংশ \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে বহির্ভিভুক্ত (external division) করে, অর্থাৎ \( AB \) এর বাইরে বিন্দু \( P \) অবস্থান করে যেন \( AP:BP = m:n \) হয়, তবে সূত্রটি হয়:
বহির্বিভাজন সূত্র:
\[ x = \frac{mx_2 - nx_1}{m-n} \]
\[ y = \frac{my_2 - ny_1}{m-n} \]
বিশেষ দ্রষ্টব্য: অন্তর্বিভাজনে যোগ চিহ্ন (+) থাকে, কিন্তু বহির্বিভাজনে দ্বিতীয় পদে বিয়োগ চিহ্ন (-) থাকে এবং ভাজকে \( m-n \) হয়।
মধ্যবিন্দুর সূত্র (Midpoint Formula)
যখন \( m = n = 1 \), অর্থাৎ বিন্দুটি রেখাংশের ঠিক মাঝখানে থাকে (মধ্যবিন্দু), তখন সূত্রটি সরলতর হয়:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \]
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
অর্থাৎ মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক দুই প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্কের গড়।
উদাহরণ ১ (অন্তর্বিভাজন):
বিন্দু \( (-2, 4) \) এবং \( (6, -8) \) এর সংযোগ রেখাকে \( 3:2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, \( (x_1, y_1) = (-2, 4) \), \( (x_2, y_2) = (6, -8) \), \( m = 3 \), \( n = 2 \)
\[ x = \frac{3 \times 6 + 2 \times (-2)}{3+2} = \frac{18 - 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8 \]
\[ y = \frac{3 \times (-8) + 2 \times 4}{3+2} = \frac{-24 + 8}{5} = \frac{-16}{5} = -3.2 \]
নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( \left( \frac{14}{5}, -\frac{16}{5} \right) \) বা \( (2.8, -3.2) \)।
উদাহরণ ২ (বহির্বিভাজন):
বিন্দু \( (1, 2) \) এবং \( (3, 8) \) এর সংযোগ রেখাকে \( 2:1 \) অনুপাতে বহির্ভিভুক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ x = \frac{2 \times 3 - 1 \times 1}{2-1} = \frac{6-1}{1} = 5 \]
\[ y = \frac{2 \times 8 - 1 \times 2}{2-1} = \frac{16-2}{1} = 14 \]
নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (5, 14) \)।
উদাহরণ ৩ (ত্রিভিভাজন বিন্দু):
দেখাও যে বিন্দু \( (1, 2) \) এবং \( (4, 8) \) এর সংযোগ রেখাকে কোন বিন্দু \( 1:2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত করে।
সমাধান:
\[ x = \frac{1 \times 4 + 2 \times 1}{1+2} = \frac{4+2}{3} = 2 \]
\[ y = \frac{1 \times 8 + 2 \times 2}{1+2} = \frac{8+4}{3} = 4 \]
সুতরাং বিন্দুটি \( (2, 4) \)।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Centroid of a Triangle)
ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা (Median) যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা কেন্দ্রক (Centroid) বলা হয়। মধ্যমা হলো একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখা।
ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র
ধরা যাক, ত্রিভুজ \( ABC \) এর শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) এবং \( C(x_3, y_3) \)।
প্রথমে \( BC \) বাহুর মধ্যবিন্দু \( D \) নির্ণয় করি:
\[ D = \left( \frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2} \right) \]
এখন \( A \) থেকে \( D \) পর্যন্ত মধ্যমা \( AD \) উপর ভরকেন্দ্র \( G \) অবস্থিত যা \( AD \) কে \( 2:1 \) অনুপাতে বিভক্ত করে।
অন্তর্বিভাজন সূত্র প্রয়োগ করে:
ভরকেন্দ্রের সূত্র:
\[ G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \]
ভাষায়: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের গড় (average) বা সমষ্টির এক-তৃতীয়াংশ।
অন্যান্য কেন্দ্রসমূহের সংক্ষিপ্ত পরিচিতি
- অন্তঃকেন্দ্র (Incenter): অন্তঃকোণের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। স্থানাঙ্ক: \( \left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right) \), যেখানে \( a, b, c \) যথাক্রমে \( BC, CA, AB \) বাহুর দৈর্ঘ্য।
- পরিকেন্দ্র (Circumcenter): বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু। তিনটি শীর্ষ থেকে সমদূরবর্তী।
- লম্বকেন্দ্র (Orthocenter): শীর্ষলম্বের ছেদবিন্দু।
উদাহরণ ৪ (ভরকেন্দ্র নির্ণয়):
ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু \( (1, 2) \), \( (3, 4) \) এবং \( (5, 6) \) হলে ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ x = \frac{1+3+5}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]
\[ y = \frac{2+4+6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
সুতরাং ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (3, 4) \)।
বিশেষ লক্ষ্য: এই ত্রিভুজের শীর্ষগুলো সরলরেখিক কিনা পরীক্ষা করে দেখুন। যেহেতু ঢাল সমান \( \frac{4-2}{3-1} = 1 \) এবং \( \frac{6-4}{5-3} = 1 \), সুতরাং বিন্দুগুলো সরলরেখিক এবং এটি কোনো বাস্তব ত্রিভুজ নয়। ভরকেন্দ্র সরলরেখার উপর অবস্থিত হবে।
উদাহরণ ৫ (ভরকেন্দ্র থেকে মধ্যমা দৈর্ঘ্য নির্ণয়):
ত্রিভুজের শীর্ষ \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \), \( C(0, 6) \) হলে ভরকেন্দ্র থেকে মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যা \( BC \) বাহুর মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করে।
সমাধান:
প্রথমে ভরকেন্দ্র নির্ণয়:
\[ G = \left( \frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+6}{3} \right) = (2, 2) \]
\( BC \) এর মধ্যবিন্দু \( D \):
\[ D = \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+6}{2} \right) = (3, 3) \]
ভরকেন্দ্র থেকে মধ্যবিন্দুর দূরত্ব:
\[ GD = \sqrt{(3-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \]
মধ্যমার দৈর্ঘ্য \( AD = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
যাচাই: \( AG:GD = 2\sqrt{2}:\sqrt{2} = 2:1 \) ✓
সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের পদ্ধতি (Parallelogram Vertices)
সামান্তরিকের সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্য
সামান্তরিক (Parallelogram) একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহু সমান্তরাল ও সমান। সামান্তরিকের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো এর কর্ণগুলো পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু প্রত্যেক কর্ণের মধ্যবিন্দু।
চতুর্থ শীর্ষবিন্দু নির্ণয়ের সূত্র
ধরা যাক, সামান্তরিক \( ABCD \) এর তিনটি শীর্ষবিন্দু \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) এবং \( C(x_3, y_3) \) জানা আছে। চতুর্থ শীর্ষ \( D(x_4, y_4) \) নির্ণয় করতে হবে।
সামান্তরিকের কর্ণ \( AC \) এবং \( BD \) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং \( AC \) এর মধ্যবিন্দু এবং \( BD \) এর মধ্যবিন্দু একই বিন্দু।
মধ্যবিন্দু সমতা থেকে সূত্র:
\[ \frac{x_1+x_3}{2} = \frac{x_2+x_4}{2} \]
\[ \frac{y_1+y_3}{2} = \frac{y_2+y_4}{2} \]
সরলীকরণ করে:
\[ x_4 = x_1 + x_3 - x_2 \]
\[ y_4 = y_1 + y_3 - y_2 \]
অর্থাৎ: \( D = A + C - B \) (ভেক্টরীয় সমীকরণ হিসেবে)
বিকল্প পদ্ধতি (সদিক দূরত্ব ব্যবহার করে)
সামান্তরিকে \( \vec{AB} = \vec{DC} \) এবং \( \vec{AD} = \vec{BC} \)।
\( \vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1) \) এবং \( \vec{DC} = (x_3-x_4, y_3-y_4) \)
সমান হলে: \( x_2-x_1 = x_3-x_4 \), সুতরাং \( x_4 = x_1+x_3-x_2 \)
তিনটি বিন্দু দেওয়া থাকলে তিনটি সম্ভাব্য সামান্তরিক
যদি তিনটি বিন্দু \( A, B, C \) দেওয়া থাকে, তবে এদেরকে কোন ক্রমে সামান্তরিকের শীর্ষ হিসেবে ধরা হবে তার উপর নির্ভর করে তিনটি ভিন্ন চতুর্থ বিন্দু সম্ভব:
- যদি \( ABCD \) হয়: \( D = A + C - B \)
- যদি \( ABDC \) হয় (অর্থাৎ \( AB \) ও \( CD \) কর্ণ): \( D = A + B - C \)
- যদি \( ADBC \) হয় (অর্থাৎ \( AD \) ও \( BC \) কর্ণ): \( D = B + C - A \)
উদাহরণ ৬ (চতুর্থ শীর্ষ নির্ণয়):
সামান্তরিকের তিনটি ক্রমানুসারে শীর্ষবিন্দু \( (1, 2) \), \( (3, 4) \), \( (5, 6) \) হলে চতুর্থ শীর্ষ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \), \( C(5, 6) \), \( D(x, y) \)
কর্ণ \( AC \) এর মধ্যবিন্দু = কর্ণ \( BD \) এর মধ্যবিন্দু
\[ \frac{1+5}{2} = \frac{3+x}{2} \Rightarrow 6 = 3+x \Rightarrow x = 3 \]
\[ \frac{2+6}{2} = \frac{4+y}{2} \Rightarrow 8 = 4+y \Rightarrow y = 4 \]
সুতরাং চতুর্থ শীর্ষ \( (3, 4) \)।
বিশেষ লক্ষ্য: এটি একটি অবনত সামান্তরিক (degenerate parallelogram) কারণ বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
উদাহরণ ৭ (তিনটি সম্ভাব্য সামান্তরিক):
বিন্দু \( A(0, 0) \), \( B(2, 0) \), \( C(3, 2) \) দিয়ে গঠিত তিনটি সামান্তরিকের চতুর্থ শীর্ষ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ক্ষেত্র ১: \( ABCD \) সামান্তরিক হলে \( D = A + C - B = (0+3-2, 0+2-0) = (1, 2) \)
ক্ষেত্র ২: \( ABDC \) সামান্তরিক হলে \( D = A + B - C = (0+2-3, 0+0-2) = (-1, -2) \)
ক্ষেত্র ৩: \( ADBC \) সামান্তরিক হলে \( D = B + C - A = (2+3-0, 0+2-0) = (5, 2) \)
সুতরাং তিনটি চতুর্থ শীর্ষ সম্ভব: \( (1, 2) \), \( (-1, -2) \), এবং \( (5, 2) \)।
সামান্তরিক প্রমাণের শর্ত (Proving Parallelogram)
চারটি বিন্দু \( A, B, C, D \) দেওয়া থাকলে তা সামান্তরিক হবে যদি:
- বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু একই হয় (কর্ণ সমদ্বিখণ্ডন শর্ত)
- অর্থাৎ \( \frac{A+C}{2} = \frac{B+D}{2} \) বা \( A+C = B+D \)
বিকল্প শর্ত:
- বিপরীত বাহুর ঢাল সমান \( (m_{AB} = m_{CD} \text{ এবং } m_{BC} = m_{DA}) \)
- বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য সমান \( (AB = CD \text{ এবং } BC = DA) \)
- পার্শ্ববর্তী বাহুর ঢালের গুণফল \( -1 \) নয় (লম্ব নয়), কিন্তু সমান্তরাল শর্ত পূরণ করে
বিশেষ প্রয়োগ ও জটিল সমস্যা
মধ্যমা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Medial Triangle)
কোনো ত্রিভুজের তিন বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় তাকে মধ্যমা ত্রিভুজ বলে। এর ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের এক-চতুর্থাংশ।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram)
সামান্তরিক \( ABCD \) এর ক্ষেত্রফল = \( 2 \times \) ত্রিভুজ \( ABC \) এর ক্ষেত্রফল।
যদি শীর্ষগুলো \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \), \( (x_4, y_4) \) হয়, তবে:
\[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_4) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_4-y_2) + x_4(y_1-y_3)| \]
বা কর্ণের সাহায্যে: \( \frac{1}{2} |d_1 d_2 \sin\theta| \) যেখানে \( d_1, d_2 \) কর্ণদ্বয় এবং \( \theta \) তাদের মধ্যবর্তী কোণ।
উদাহরণ ৮ (সম্মিলিত সমস্যা):
ত্রিভুজের দুটি শীর্ষ \( (1, 3) \) এবং \( (5, 7) \) এবং এর ভরকেন্দ্র \( (3, 5) \) হলে তৃতীয় শীর্ষ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \( C(x, y) \)
ভরকেন্দ্রের সূত্র:
\[ 3 = \frac{1+5+x}{3} \Rightarrow 9 = 6+x \Rightarrow x = 3 \]
\[ 5 = \frac{3+7+y}{3} \Rightarrow 15 = 10+y \Rightarrow y = 5 \]
সুতরাং তৃতীয় শীর্ষ \( (3, 5) \)।
বিশেষ লক্ষ্য: এখানে ভরকেন্দ্রই তৃতীয় শীর্ষে অবস্থিত, যা একটি বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে ত্রিভুজটি অবনত নয় কিন্তু ভরকেন্দ্র একটি শীর্ষে অবস্থিত (যদিও সাধারণত ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের অভ্যন্তরে থাকে)।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
অন্তর্বিভাজন
\[ \left( \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right) \]
বহির্বিভাজন
\[ \left( \frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n} \right) \]
মধ্যবিন্দু
\[ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \]
ভরকেন্দ্র
\[ \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \]