ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও চিহ্ন
এই অধ্যায়ে আমরা সমকোণী ত্রিভুজের উপর ভিত্তি করে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios) যেমন—সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট ইত্যাদির সংজ্ঞা শিখব। এছাড়াও কোণের চতুর্থ ভাগ (Quadrant) অনুযায়ী এই অনুপাতগুলোর চিহ্ন (Signs) কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা আলোচনা করা হবে। আমরা বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মধ্যকার পারস্পরিক, ভাগশেষ ও বর্গীয় সম্পর্ক এবং প্রত্যেক অনুপাতের সীমাবদ্ধতা বা পরিসীমা (Range) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios)
সংজ্ঞা
একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোণ \( \theta \) এর সাপেক্ষে ভূমি (Base), লম্ব (Perpendicular) এবং অতিভুজ (Hypotenuse) এর মধ্যকার বিভিন্ন অনুপাতকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয়।
মনে করি, \( \triangle ABC \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে \( \angle B = 90^\circ \) এবং \( \angle C = \theta \)।
- কোণ \( \theta \) এর সম্মুখবর্তী বাহু = \( AB \) = লম্ব (\( p \))
- কোণ \( \theta \) এর অনুভূমিক বাহু = \( BC \) = ভূমি (\( b \))
- অতিভুজ = \( AC \) = \( h \)
ছয়টি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
| অনুপাত | সংজ্ঞা | সংক্ষিপ্ত রূপ |
|---|---|---|
| সাইন (Sine) | \( \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \) | \( \sin\theta = \frac{p}{h} \) |
| কোসাইন (Cosine) | \( \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} \) | \( \cos\theta = \frac{b}{h} \) |
| ট্যানজেন্ট (Tangent) | \( \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} \) | \( \tan\theta = \frac{p}{b} \) |
| কোট্যানজেন্ট (Cotangent) | \( \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}} \) | \( \cot\theta = \frac{b}{p} \) |
| সেক্যান্ট (Secant) | \( \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}} \) | \( \sec\theta = \frac{h}{b} \) |
| কোসেক্যান্ট (Cosecant) | \( \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}} \) | \( \csc\theta = \frac{h}{p} \) |
মনে রাখার সূত্র
সোহকাহটোয়া (SOHCAHTOA):
- সোহ্ (SOH): সোনা মানে \( \textbf{S}in = \frac{\textbf{O}pposite}{\textbf{H}ypotenuse} \)
- কাহ্ (CAH): কাঁচা মানে \( \textbf{C}os = \frac{\textbf{A}djacent}{\textbf{H}ypotenuse} \)
- টোয়া (TOA): টোমেটো মানে \( \textbf{T}an = \frac{\textbf{O}pposite}{\textbf{A}djacent} \)
চতুর্থ ভাগ অনুযায়ী ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের চিহ্ন (Signs of Trigonometric Ratios in Quadrants)
যখন কোণটি বিভিন্ন চতুর্থ ভাগে অবস্থান করে, তখন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। কারণ লম্ব এবং ভূমির চিহ্ন বিভিন্ন চতুর্থ ভাগে ভিন্ন হয়।
চতুর্থ ভাগে স্থানাঙ্কের চিহ্ন
- প্রথম চতুর্ভাগ (0° থেকে 90°): \( x > 0, y > 0 \) — উভয়ই ধনাত্মক
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ (90° থেকে 180°): \( x < 0, y > 0 \) — ভূমি ঋণাত্মক, লম্ব ধনাত্মক
- তৃতীয় চতুর্ভাগ (180° থেকে 270°): \( x < 0, y < 0 \) — উভয়ই ঋণাত্মক
- চতুর্থ চতুর্ভাগ (270° থেকে 360°): \( x > 0, y < 0 \) — ভূমি ধনাত্মক, লম্ব ঋণাত্মক
অলা-সলা-তলা-দলা নিয়ম (ASTC Rule)
কোন চতুর্থ ভাগে কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ধনাত্মক হয় তা মনে রাখার সহজ নিয়ম:
| চতুর্থ ভাগ | কোণের পরিসর | ধনাত্মক অনুপাত | মনে রাখার শব্দ |
|---|---|---|---|
| প্রথম | \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \) | সব অনুপাত (\( \sin, \cos, \tan \)) | অলা (A = All) |
| দ্বিতীয় | \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \) | শুধু \( \sin\theta \) এবং \( \csc\theta \) | সলা (S = Sine) |
| তৃতীয় | \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \) | শুধু \( \tan\theta \) এবং \( \cot\theta \) | তলা (T = Tangent) |
| চতুর্থ | \( 270^\circ < \theta < 360^\circ \) | শুধু \( \cos\theta \) এবং \( \sec\theta \) | দলা (C = Cosine) |
বিস্তারিত চিহ্ন তালিকা
| অনুপাত | প্রথম (I) | দ্বিতীয় (II) | তৃতীয় (III) | চতুর্থ (IV) |
|---|---|---|---|---|
| \( \sin\theta \) | \( + \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) |
| \( \cos\theta \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) | \( + \) |
| \( \tan\theta \) | \( + \) | \( - \) | \( + \) | \( - \) |
| \( \csc\theta \) | \( + \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) |
| \( \sec\theta \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) | \( + \) |
| \( \cot\theta \) | \( + \) | \( - \) | \( + \) | \( - \) |
উদাহরণ ১:
নির্ণয় কর: \( \sin 150^\circ \) এবং \( \cos 240^\circ \)
সমাধান:
(i) \( 150^\circ \) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে। দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \( \sin \) ধনাত্মক।
\[ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
(ii) \( 240^\circ \) তৃতীয় চতুর্ভাগে। তৃতীয় চতুর্ভাগে \( \cos \) ঋণাত্মক।
\[ \cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \]
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সমূহের মধ্যে সম্পর্ক (Relations between Trigonometric Ratios)
১. পারস্পরিক সম্পর্ক (Reciprocal Relations)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে পারস্পরিক ভাব নিম্নরূপ:
\[ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \quad \text{বা} \quad \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 \]
\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \quad \text{বা} \quad \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 \]
\[ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \quad \text{বা} \quad \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 \]
২. ভাগশেষ সম্পর্ক (Quotient Relations)
\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
\[ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]
৩. বর্গীয় সূত্রাবলী (Pythagorean Identities)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য \( p^2 + b^2 = h^2 \) থেকে প্রমাণ করা যায়:
(i) \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
প্রমাণ: \( \left(\frac{p}{h}\right)^2 + \left(\frac{b}{h}\right)^2 = \frac{p^2+b^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1 \)
(ii) \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
প্রমাণ: \( 1 + \frac{p^2}{b^2} = \frac{b^2+p^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2} = \sec^2\theta \)
(iii) \( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)
প্রমাণ: \( 1 + \frac{b^2}{p^2} = \frac{p^2+b^2}{p^2} = \frac{h^2}{p^2} = \csc^2\theta \)
৪. এক কোণের অনুপাত থেকে অন্য কোণের অনুপাত নির্ণয়
যদি \( \sin\theta \) জানা থাকে, তবে:
\[ \cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta} \]
\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}} \]
চিহ্ন নির্ভর করে কোণ কোন চতুর্থ ভাগে আছে তার উপর।
উদাহরণ ২:
যদি \( \sin\theta = \frac{3}{5} \) এবং \( \theta \) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে থাকে, তবে অন্যান্য অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \cos\theta = -\sqrt{1-\sin^2\theta} = -\sqrt{1-\frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \]
(দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \( \cos \) ঋণাত্মক)
\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \]
\[ \csc\theta = \frac{5}{3}, \quad \sec\theta = -\frac{5}{4}, \quad \cot\theta = -\frac{4}{3} \]
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সীমাবদ্ধতা (Range of Trigonometric Ratios)
বিভিন্ন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান সীমিত পরিসরের মধ্যে থাকে। এর কারণ হলো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত সর্বদা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে।
১. সাইন ও কোসাইনের সীমাবদ্ধতা
সমকোণী ত্রিভুজে, লম্ব বা ভূমি কখনোই অতিভুজের সমান বা তার চেয়ে বড় হতে পারে না।
\[ -1 \leq \sin\theta \leq 1 \]
\[ -1 \leq \cos\theta \leq 1 \]
বিশেষ মান:
- \( \sin\theta = 1 \) যখন \( \theta = 90^\circ \)
- \( \sin\theta = -1 \) যখন \( \theta = 270^\circ \) বা \( -90^\circ \)
- \( \sin\theta = 0 \) যখন \( \theta = 0^\circ, 180^\circ \)
২. ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্টের সীমাবদ্ধতা
\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)। যখন \( \cos\theta = 0 \) (অর্থাৎ \( \theta = 90^\circ, 270^\circ \)), তখন \( \tan\theta \) অসংজ্ঞায়িত (∞) হয়।
\[ -\infty < \tan\theta < +\infty \]
\[ -\infty < \cot\theta < +\infty \]
৩. সেক্যান্ট ও কোসেক্যান্টের সীমাবদ্ধতা
যেহেতু \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) এবং \( |\cos\theta| \leq 1 \), সুতরাং \( |\sec\theta| \geq 1 \)।
\[ \sec\theta \leq -1 \quad \text{বা} \quad \sec\theta \geq 1 \]
\[ \csc\theta \leq -1 \quad \text{বা} \quad \csc\theta \geq 1 \]
অর্থাৎ \( \sec\theta \) এবং \( \csc\theta \) এর মান কখনো \( -1 \) ও \( +1 \) এর মধ্যে থাকে না।
সারণি (Summary Table)
| অনুপাত | সর্বনিম্ন মান | সর্বোচ্চ মান | পরিসীমা |
|---|---|---|---|
| \( \sin\theta \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( [-1, 1] \) |
| \( \cos\theta \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( [-1, 1] \) |
| \( \tan\theta \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( (-\infty, +\infty) \) |
| \( \csc\theta \) | \( -\infty \) | \( -1 \) এবং \( 1 \) থেকে \( +\infty \) | \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \) |
| \( \sec\theta \) | \( -\infty \) | \( -1 \) এবং \( 1 \) থেকে \( +\infty \) | \( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \) |
| \( \cot\theta \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( (-\infty, +\infty) \) |
উদাহরণ ৩:
দেখাও যে \( \sin\theta = 2 \) সম্ভব নয়।
সমাধান:
আমরা জানি \( \sin\theta \) এর পরিসীমা \( [-1, 1] \)।
যেহেতু \( 2 > 1 \), সুতরাং \( \sin\theta = 2 \) হতে পারে না।
যদি \( \sin\theta = 2 \) হতো, তবে:
\[ \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 4 = -3 \]
যা অসম্ভব কারণ বর্গ সর্বদা ধনাত্মক।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
মৌলিক অনুপাত
\( \sin\theta = \frac{p}{h} \)
\( \cos\theta = \frac{b}{h} \)
\( \tan\theta = \frac{p}{b} \)
চিহ্নের নিয়ম
প্রথম: সব (+)
দ্বিতীয়: Sin (+)
তৃতীয়: Tan (+)
চতুর্থ: Cos (+)
বর্গীয় সূত্র
\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
\( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
\( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)
সীমাবদ্ধতা
\( -1 \leq \sin\theta \leq 1 \)
\( -1 \leq \cos\theta \leq 1 \)
\( |\sec\theta| \geq 1 \)
\( |\csc\theta| \geq 1 \)
মুখস্থ করার তালিকা
- \( \sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \), \( \cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} \), \( \tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} \)
- অলা-সলা-তলা-দলা নিয়মে চতুর্থ ভাগ অনুযায়ী চিহ্ন নির্ণয়
- পারস্পরিক সম্পর্ক: \( \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 \), \( \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 \), \( \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 \)
- বর্গীয় সূত্র তিনটি অবশ্যই মুখস্থ করতে হবে
- \( \sin\theta \) ও \( \cos\theta \) এর মান \( -1 \) থেকে \( 1 \) এর মধ্যে
- \( \sec\theta \) ও \( \csc\theta \) এর মান \( -1 \) ও \( 1 \) এর মধ্যে নয়