৫.২ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি হলো যোগজীকরণের সবচেয়ে শক্তিশালী ও বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি। যখন কোনো যোগজ্য সরাসরি প্রমিত সূত্রে ফিট হয় না, তখন একটি নতুন চলক প্রবর্তন করে (প্রতিস্থাপন করে) যোগজ্যটিকে সরল রূপে রূপান্তর করা হয়। এই অধ্যায়ে আমরা এই পদ্ধতির মৌলিক ধারণা, ব্যবহৃত সূত্রসমূহ এবং তাদের প্রমাণ আলোচনা করব।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতির মৌলিক ধারণা
পদ্ধতির ভিত্তি
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি মূলত চেইন রুলের (Chain Rule) বিপরীত প্রক্রিয়া। অন্তরীকরণে আমরা দেখেছি যে সংযুক্ত ফাংশনের অন্তরজ নিতে চেইন রুল ব্যবহার করতে হয়। যোগজীকরণে যদি যোগজ্যের সাথে তার অন্তরজের একটি গুণনীয়ক থাকে, তবে একটি নতুন চলক \(u\) ধরে সমস্যাটি সরল করা যায়।
সাধারণ নিয়ম:
যদি \(u = \phi(x)\) হয় এবং \(\frac{du}{dx}\) বিদ্যমান থাকে, তবে:
\[\int f[\phi(x)] \cdot \phi'(x) \, dx = \int f(u) \, du\]
এবং \(du = \phi'(x) \, dx\) বা \(\frac{du}{dx} = \phi'(x)\) হতে \(dx = \frac{du}{\phi'(x)}\)
কখন প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করব?
- যোগজ্যের ভেতরে একটি ফাংশন আছে এবং বাইরে তার অন্তরজের (বা অন্তরজের একটি ধ্রুবক গুণনীয়ক) উপস্থিতি আছে।
- যোগজ্যটি জটিল দেখাচ্ছে কিন্তু একটি সরল ফাংশন এবং তার অন্তরজের গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়।
- বীজগাণিতিক, ত্রিকোণমিতিক বা ঘাতাঙ্কিক ফাংশনের জটিল সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে ব্যবহৃত প্রধান সূত্রসমূহ
১. লঘারিদমিক সূত্র (Logarithmic Rule)
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\]
বা \(u = f(x)\) ধরলে:
\[\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C\]
প্রমাণ:
আমরা জানি যে \(\frac{d}{dx}[\ln|f(x)|] = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\) [চেইন রুল অনুসারে]
অতএব, \(\ln|f(x)|\) হলো \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) এর একটি প্রতি-অন্তরজ।
সুতরাং \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\) [প্রমাণিত]
উদাহরণ:
\(\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = x^2 + 1\)
তাহলে \(\frac{du}{dx} = 2x\) বা \(du = 2x \, dx\)
\(\int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(x^2+1) + C\)
[যেহেতু \(x^2+1 > 0\) সবসময়, পরম মানের চিহ্ন ঐচ্ছিক]
২. ঘাতীয় সূত্র (Power Rule)
\[\int [f(x)]^n \cdot f'(x) \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C\] (\(n \neq -1\))
বা \(u = f(x)\) ধরলে:
\[\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\]
প্রমাণ:
আমরা জানি \(\frac{d}{dx}\left[\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}\right] = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)[f(x)]^n \cdot f'(x) = [f(x)]^n \cdot f'(x)\)
[চেইন রুল ব্যবহার করে \(\frac{d}{dx}[f(x)]^{n+1} = (n+1)[f(x)]^n \cdot f'(x)\)]
অতএব, \(\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}\) হলো \([f(x)]^n \cdot f'(x)\) এর একটি প্রতি-অন্তরজ।
সুতরাং \(\int [f(x)]^n \cdot f'(x) \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C\) [প্রমাণিত]
উদাহরণ:
\(\int x\sqrt{x^2+1} \, dx\) বা \(\int x(x^2+1)^{1/2} \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = x^2 + 1\), তাহলে \(du = 2x \, dx\) বা \(x \, dx = \frac{du}{2}\)
\(\int (x^2+1)^{1/2} \cdot x \, dx = \int u^{1/2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C\)
৩. ঘাতাঙ্কিক সূত্র (Exponential Rule)
\[\int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = e^{f(x)} + C\]
বা \(u = f(x)\) ধরলে:
\[\int e^u \, du = e^u + C\]
প্রমাণ:
\(\frac{d}{dx}[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x)\) [চেইন রুল অনুসারে]
অতএব \(\int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = e^{f(x)} + C\) [প্রমাণিত]
উদাহরণ:
\(\int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = \sin x\), তাহলে \(du = \cos x \, dx\)
\(\int e^{\sin x} \cdot \cos x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{\sin x} + C\)
ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন (Trigonometric Substitution)
কিছু বিশেষ আকারের যোগজ্যের জন্য নির্দিষ্ট ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করা হয়:
| যদি থাকে | প্রতিস্থাপন | পরিচিতি |
|---|---|---|
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(x = a\sin\theta\) বা \(x = a\cos\theta\) | \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) |
| \(\sqrt{a^2 + x^2}\) | \(x = a\tan\theta\) | \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\) |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(x = a\sec\theta\) | \(\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta\) |
সূত্রসমূহের প্রমাণ
সূত্র: \(\int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C\)
প্রমাণ:
\(\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx\)
ধরি \(u = \cos x\), তাহলে \(du = -\sin x \, dx\) বা \(-du = \sin x \, dx\)
\(= \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C = \ln|\cos x|^{-1} + C = \ln|\sec x| + C\)
সূত্র: \(\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
প্রমাণ:
\(\int \sec x \, dx = \int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx\)
ধরি \(u = \sec x + \tan x\)
তাহলে \(du = (\sec x \tan x + \sec^2 x) \, dx = (\sec^2 x + \sec x \tan x) \, dx\)
\(= \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\sec x + \tan x| + C\)
সূত্র: \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C\)
প্রমাণ:
ধরি \(x = a\sin\theta\), তাহলে \(dx = a\cos\theta \, d\theta\)
\(\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta} = \sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a\cos\theta\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int \frac{a\cos\theta \, d\theta}{a\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C\)
যেহেতু \(x = a\sin\theta\), সুতরাং \(\theta = \sin^{-1}\frac{x}{a}\)
\(= \sin^{-1}\frac{x}{a} + C\) [প্রমাণিত]
বীজগাণিতিক রূপান্তর ও প্রতিস্থাপন
কিছু ক্ষেত্রে যোগজ্যটিকে প্রতিস্থাপনের উপযুক্ত করতে বীজগাণিতিক রূপান্তর (যেমন: যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ) প্রয়োজন হয়।
উদাহরণ: \(\int \frac{dx}{x^2-a^2}\)
সমাধান:
\(\frac{1}{x^2-a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a}\left[\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}\right]\) [আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ]
\(\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\int \left[\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}\right] dx\)
প্রথম অংশে \(u = x-a\) এবং দ্বিতীয় অংশে \(v = x+a\) ধরে:
\(= \frac{1}{2a}[\ln|x-a| - \ln|x+a|] + C = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
উদাহরণ: \(\int \frac{2x+3}{x^2+4x+5} \, dx\)
সমাধান:
যোগজ্যের হরের অন্তরজ \(2x+4\)
আমরা লিখতে পারি: \(2x+3 = (2x+4) - 1\)
\(\int \frac{(2x+4)-1}{x^2+4x+5} \, dx = \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} \, dx - \int \frac{dx}{x^2+4x+5}\)
প্রথম যোগজে \(u = x^2+4x+5\) ধরলে \(du = (2x+4)dx\):
\(= \ln|x^2+4x+5| - \int \frac{dx}{(x+2)^2+1}\)
দ্বিতীয়টিতে \(v = x+2\) ধরলে:
\(= \ln(x^2+4x+5) - \tan^{-1}(x+2) + C\)
জটিল উদাহরণসমূহ
উদাহরণ ১:
\(\int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = \sqrt{x} = x^{1/2}\)
তাহলে \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) বা \(du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}\)
বা \(\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du\)
\(\int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \int \sin u \cdot 2du = 2\int \sin u \, du\)
\(= -2\cos u + C = -2\cos\sqrt{x} + C\)
উদাহরণ ২:
\(\int \frac{e^x}{e^x+1} \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = e^x + 1\), তাহলে \(du = e^x \, dx\)
\(\int \frac{e^x}{e^x+1} \, dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(e^x+1) + C\)
[যেহেতু \(e^x+1 > 0\) সবসময়]
উদাহরণ ৩:
\(\int \sin^3 x \cos x \, dx\)
সমাধান:
ধরি \(u = \sin x\), তাহলে \(du = \cos x \, dx\)
\(\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C\)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- প্রতিস্থাপন পদ্ধতি: চেইন রুলের বিপরীত প্রক্রিয়া। \(u = f(x)\) ধরে \(du = f'(x)dx\) বসিয়ে যোগজ্যটি সরল করা হয়।
- লঘারিদমিক সূত্র: \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\) — যেখানে যোগজ্যের হরের অন্তরজ লবে থাকে।
- ঘাতীয় সূত্র: \(\int [f(x)]^n f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C\) — যোগজ্যের ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ বাইরে থাকলে।
- ঘাতাঙ্কিক সূত্র: \(\int e^{f(x)} f'(x) dx = e^{f(x)} + C\)
- ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন: \(\sqrt{a^2-x^2}\) এর জন্য \(x=a\sin\theta\), \(\sqrt{a^2+x^2}\) এর জন্য \(x=a\tan\theta\), \(\sqrt{x^2-a^2}\) এর জন্য \(x=a\sec\theta\)
- মনে রাখবে: প্রতিস্থাপনের পর ফলাফলে পূর্বের চলকে ফিরিয়ে আনতে হবে (শেষ অবস্থায় \(u\) এর জায়গায় \(f(x)\) বসাতে হবে)।