সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
এতদিন আমরা শুধু সূক্ষ্ম কোণ নিয়ে কাজ করেছি। কিন্তু বাস্তবে কোণ তো যেকোনো হতে পারে। যেমন ধরুন \( 120^\circ \), \( 225^\circ \) বা \( 330^\circ \)। এই বড় কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বের করতে গেলে কি করব? আসলে এগুলোকে আমরা \( 90^\circ \), \( 180^\circ \), \( 270^\circ \) বা \( 360^\circ \) এর সাথে যোগ বা বিয়োগ করে সূক্ষ্ম কোণে পরিণত করতে পারি। এই ধরনের কোণগুলোকে বলা হয় সংযুক্ত কোণ (Allied Angles)। এই অধ্যায়ে আমরা শিখব কীভাবে যেকোনো বড় কোণকে সূক্ষ্ম কোণে রূপান্তর করে তার অনুপাত নির্ণয় করতে হয় এবং কীভাবে রেডিয়ানে একই কাজ করা যায়।
সংযুক্ত কোণের ধারণা
যখন কোনো কোণ \( \theta \) এর সাথে \( 90^\circ \), \( 180^\circ \), \( 270^\circ \) বা \( 360^\circ \) যোগ বা বিয়োগ করে নতুন কোণ পাওয়া যায়, তখন সেই নতুন কোণগুলোকে \( \theta \) এর সংযুক্ত কোণ বলে।
যেমন:
- \( 90^\circ - \theta \) এবং \( 90^\circ + \theta \)
- \( 180^\circ - \theta \) এবং \( 180^\circ + \theta \)
- \( 270^\circ - \theta \) এবং \( 270^\circ + \theta \)
- \( 360^\circ - \theta \) এবং \( 360^\circ + \theta \)
এই সব ক্ষেত্রেই আমরা সূক্ষ্ম কোণ \( \theta \) এর অনুপাতের সাহায্যে বড় কোণের অনুপাত বের করতে পারি।
সংযুক্ত কোণের সূত্রাবলী (All Formulas)
নিচে সবগুলো সংযুক্ত কোণের জন্য সূত্রগুলো দেওয়া হলো। এগুলো মুখস্থ করার দরকার নেই যদি আপনি নিয়মটা বুঝতে পারেন। তবু পরীক্ষার সুবিধার্থে এগুলো জেনে রাখা ভালো।
১. 90° সংযুক্ত কোণ (Complementary and Beyond)
\[ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta \]
\[ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta \]
\[ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta \]
\[ \sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta \]
\[ \cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta \]
\[ \tan(90^\circ + \theta) = -\cot\theta \]
২. 180° সংযুক্ত কোণ (Supplementary)
\[ \sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta \]
\[ \cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta \]
\[ \tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta \]
\[ \sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta \]
\[ \cos(180^\circ + \theta) = -\cos\theta \]
\[ \tan(180^\circ + \theta) = \tan\theta \]
৩. 270° সংযুক্ত কোণ
\[ \sin(270^\circ - \theta) = -\cos\theta \]
\[ \cos(270^\circ - \theta) = -\sin\theta \]
\[ \tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta \]
\[ \sin(270^\circ + \theta) = -\cos\theta \]
\[ \cos(270^\circ + \theta) = \sin\theta \]
\[ \tan(270^\circ + \theta) = -\cot\theta \]
৪. 360° সংযুক্ত কোণ (Full Circle)
\[ \sin(360^\circ - \theta) = -\sin\theta \]
\[ \cos(360^\circ - \theta) = \cos\theta \]
\[ \tan(360^\circ - \theta) = -\tan\theta \]
\[ \sin(360^\circ + \theta) = \sin\theta \]
\[ \cos(360^\circ + \theta) = \cos\theta \]
\[ \tan(360^\circ + \theta) = \tan\theta \]
৫. ঋণাত্মক কোণের জন্য
\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]
\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]
\[ \tan(-\theta) = -\tan\theta \]
নির্ণয়ের কার্যপদ্ধতি (How to Determine)
এতোগুলো সূত্র মুখস্থ রাখা কঠিন। তাই একটি সাধারণ নিয়ম বা কার্যপদ্ধতি জেনে রাখলেই যেকোনো সংযুক্ত কোণের অনুপাত নির্ণয় করা যায়। এই পদ্ধতিকে বলা হয় কাস্ট নিয়ম (CAST Rule) বা অলা-সলা-তলা-দলা নিয়ম।
ধাপ ১: কোণকে সূক্ষ্ম কোণে রূপান্তর
প্রথমে দেখুন আপনার কোণটি কত বড়। সেটাকে \( 90^\circ \), \( 180^\circ \), \( 270^\circ \) বা \( 360^\circ \) এর নিকটতম হিসেবে ভাবুন।
যেমন:
- \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \)
- \( 150^\circ = 180^\circ - 30^\circ \)
- \( 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ \)
- \( 300^\circ = 360^\circ - 60^\circ \) বা \( 270^\circ + 30^\circ \)
ধাপ ২: চিহ্ন নির্ধারণ (CAST Rule)
কোণটি কোন চতুর্থ ভাগে পড়েছে তা দেখুন:
- প্রথম চতুর্ভাগ (0° to 90°): সব অনুপাত ধনাত্মক (All)
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ (90° to 180°): শুধু সাইন ধনাত্মক (Sine)
- তৃতীয় চতুর্ভাগ (180° to 270°): শুধু ট্যানজেন্ট ধনাত্মক (Tangent)
- চতুর্থ চতুর্ভাগ (270° to 360°): শুধু কোসাইন ধনাত্মক (Cosine)
মনে রাখার কৌশল: অলা-সলা-তলা-দলা বা ইংরেজিতে All Silver Tea Cups (A-S-T-C)।
ধাপ ৩: নাম পরিবর্তন (Co-function)
যদি সংযুক্ত কোণ \( 90^\circ \) বা \( 270^\circ \) এর সাথে যোগ বা বিয়োগ হয় (অর্থাৎ অযুগ্ম গুণিতক), তবে অনুপাতের নাম বদলে যায়:
- সাইন becomes কোসাইন
- কোসাইন becomes সাইন
- ট্যানজেন্ট becomes কোট্যানজেন্ট
- কোট্যানজেন্ট becomes ট্যানজেন্ট
- সেক্যান্ট becomes কোসেক্যান্ট
- কোসেক্যান্ট becomes সেক্যান্ট
আর যদি \( 180^\circ \) বা \( 360^\circ \) এর সাথে হয় (অর্থাৎ যুগ্ম গুণিতক), তবে নাম একই থাকে।
উদাহরণ ১:
\( \sin(150^\circ) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধাপ ১: \( 150^\circ = 180^\circ - 30^\circ \)
ধাপ ২: \( 150^\circ \) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে। সাইন এখানে ধনাত্মক। তাই চিহ্ন + হবে।
ধাপ ৩: \( 180^\circ \) যুগ্ম গুণিতক, তাই নাম একই থাকে (সাইনই থাকে)।
\[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
উদাহরণ ২:
\( \cos(210^\circ) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধাপ ১: \( 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ \)
ধাপ ২: \( 210^\circ \) তৃতীয় চতুর্ভাগে। কোসাইন এখানে ঋণাত্মক। তাই চিহ্ন - হবে।
ধাপ ৩: \( 180^\circ \) যুগ্ম গুণিতক, নাম একই (কোসাইন)।
\[ \cos(210^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
উদাহরণ ৩:
\( \tan(120^\circ) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধাপ ১: \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \) বা \( 90^\circ + 30^\circ \)। আমরা \( 180^\circ - 60^\circ \) ধরি।
ধাপ ২: দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট ঋণাত্মক।
ধাপ ৩: \( 180^\circ \) যুগ্ম গুণিতক, নাম একই।
\[ \tan(120^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3} \]
বিকল্পভাবে \( 90^\circ + 30^\circ \) ধরলে:
\( 90^\circ \) অযুগ্ম, তাই নাম বদলে কোট্যানজেন্ট হবে। দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট ঋণাত্মক।
\[ \tan(120^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3} \]
উভয় ক্ষেত্রেই একই উত্তর।
রেডিয়ানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (In Radians)
রেডিয়ানে কাজ করতে গেলে শুধু ডিগ্রীর জায়গায় রেডিয়ান বসাতে হবে। নিয়ম একই।
মুখ্য রূপান্তর
- \( 90^\circ = \frac{\pi}{2} \) রেডিয়ান
- \( 180^\circ = \pi \) রেডিয়ান
- \( 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \) রেডিয়ান
- \( 360^\circ = 2\pi \) রেডিয়ান
রেডিয়ানে সূত্রাবলী
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \]
\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]
\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta \]
\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]
উদাহরণ ৪:
\( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} \]
দ্বিতীয় চতুর্ভাগে সাইন ধনাত্মক, নাম একই।
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]
উদাহরণ ৫:
\( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} \]
তৃতীয় চতুর্ভাগে কোসাইন ঋণাত্মক, নাম একই।
\[ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]
উদাহরণ ৬:
\( \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \]
চতুর্থ চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট ঋণাত্মক, নাম একই।
\[ \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
180° - θ
\( \sin \to \sin \) (ঋণাত্মক নয়)
\( \cos \to -\cos \)
\( \tan \to -\tan \)
180° + θ
\( \sin \to -\sin \)
\( \cos \to -\cos \)
\( \tan \to \tan \) (ঋণাত্মক নয়)
90° ± θ
নাম বদলে যায়
\( \sin \leftrightarrow \cos \)
\( \tan \leftrightarrow \cot \)
360° ± θ
মান একই থাকে
চিহ্ন চতুর্থ ভাগ অনুযায়ী
মনে রাখার কৌশল
- প্রথমে কোণটিকে সূক্ষ্ম কোণে ভাঙুন (180-θ, 90+θ ইত্যাদি)
- কোন চতুর্থ ভাগে পড়েছে তা দেখুন (কাস্ট নিয়ম)
- 90 বা 270 হলে নাম বদলাবে, 180 বা 360 হলে নাম একই থাকবে
- চিহ্ন নির্ধারণ করুন চতুর্থ ভাগ অনুযায়ী
- রেডিয়ানে একই নিয়ম, শুধু π/2, π, 3π/2, 2π বসান