উপগুণিতক কোণ ও বিশেষ কোণের মান
আমরা ইতোমধ্যে দ্বিকোণ ও ত্রিকোণের সূত্র দেখেছি যেখানে \( 2A \) বা \( 3A \) কে \( A \) এর অনুপাতে প্রকাশ করা হয়। কিন্তু যদি উল্টোটা করতে হয়? অর্থাৎ \( A \) এর অর্ধেক \( \frac{A}{2} \) বা এক তৃতীয়াংশ \( \frac{A}{3} \) এর মান বের করতে হলে কী করব? এগুলোকে বলা হয় উপগুণিতক কোণ (Submultiple Angles)। এছাড়াও এই অধ্যায়ে আমরা দুটি বিশেষ কোণ 18° ও 36° এর ত্রিকোণমিতিক মান কীভাবে বের করা যায় তা শিখব। এই কোণগুলোর মান সোনালি অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত এবং বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধান করে পাওয়া যায়।
উপগুণিতক কোণের সূত্রাবলী
ধরা যাক আমাদের কোণ \( A \) দেওয়া আছে এবং আমরা \( \frac{A}{2} \), \( \frac{A}{3} \) ইত্যাদির অনুপাত জানতে চাই। অর্ধকোণের জন্য আমরা ইতোমধ্যে কিছু সূত্র দেখেছি, এখন তা আরও সাধারণভাবে উপস্থাপন করা হলো।
অর্ধকোণের সূত্র (A/2 এর জন্য)
আমরা জানি দ্বিকোণের সূত্র থেকে:
\[ \cos A = 1 - 2\sin^2 \frac{A}{2} = 2\cos^2 \frac{A}{2} - 1 \]
এই সমীকরণগুলো থেকে \( \sin \frac{A}{2} \) এবং \( \cos \frac{A}{2} \) বের করলে পাই:
\[ \sin \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} \]
\[ \cos \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \]
এই দুটি থেকে ভাগ করে \( \tan \frac{A}{2} \) এর মান পাওয়া যায়:
\[ \tan \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} \]
তৃতীয়াংশ কোণের সূত্র (A/3 এর জন্য)
ত্রিকোণ সূত্র \( \cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \) এ যদি \( \theta = \frac{A}{3} \) বসাই, তাহলে:
\[ \cos A = 4\cos^3 \frac{A}{3} - 3\cos \frac{A}{3} \]
এটি \( \cos \frac{A}{3} \) এর একটি তৃতীয় ঘাতের সমীকরণ। একইভাবে:
\[ \sin A = 3\sin \frac{A}{3} - 4\sin^3 \frac{A}{3} \]
t-প্রতিস্থাপন (Weierstrass Substitution)
ধরা যাক \( t = \tan \frac{A}{2} \)। তাহলে \( \sin A \), \( \cos A \), এবং \( \tan A \) কে \( t \) এর রূপে প্রকাশ করা যায়। এটি ইন্টিগ্রেশনে খুব কাজে লাগে।
\[ \sin A = \frac{2t}{1 + t^2} \]
\[ \cos A = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \]
\[ \tan A = \frac{2t}{1 - t^2} \]
যেখানে \( t = \tan \frac{A}{2} \)
উদাহরণ ১:
যদি \( \cos A = \frac{1}{3} \) হয়, তবে \( \sin \frac{A}{2} \) এবং \( \cos \frac{A}{2} \) এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
যেহেতু \( \cos A = \frac{1}{3} > 0 \), \( A \) প্রথম বা চতুর্থ চতুর্ভাগে। ধরি \( A \) প্রথম চতুর্ভাগে, তাহলে \( \frac{A}{2} \) ও প্রথম চতুর্ভাগে, সুতরাং উভয়ই ধনাত্মক।
\[ \sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ \cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{4}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]
18° ও 36° এর বিশেষ মান
এখন আমরা দুটি বিশেষ কোণের মান নির্ণয় করব যেগুলো আমরা সাধারণত মুখস্থ রাখি না, কিন্তু ত্রিকোণমিতির অনেক সমস্যায় এগুলোর প্রয়োগ দেখা যায়।
sin 18° এবং cos 36° এর মান নির্ণয়
ধরা যাক \( \theta = 18^\circ \)। তাহলে \( 5\theta = 90^\circ \)।
আমরা লিখতে পারি: \( 2\theta = 36^\circ \) এবং \( 3\theta = 54^\circ \)।
লক্ষ্য করুন: \( 54^\circ = 90^\circ - 36^\circ = 90^\circ - 2\theta \)।
সুতরাং: \( 3\theta = 90^\circ - 2\theta \)
উভয় পক্ষে সাইন নিলে:
\[ \sin 3\theta = \sin(90^\circ - 2\theta) = \cos 2\theta \]
এখন ত্রিকোণ সূত্র প্রয়োগ করি:
\[ 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 1 - 2\sin^2\theta \]
ধরি \( x = \sin\theta = \sin 18^\circ \)। তাহলে:
\[ 3x - 4x^3 = 1 - 2x^2 \]
\[ 4x^3 - 2x^2 - 3x + 1 = 0 \]
এই তৃতীয় ঘাতের সমীকরণের একটি মূল \( x = 1 \) কারণ \( \sin 90^\circ = 1 \) এবং \( \theta = 18^\circ \neq 90^\circ \)। সুতরাং \( (x - 1) \) একটি উৎপাদক। ভাগ করে পাই:
\[ (x - 1)(4x^2 + 2x - 1) = 0 \]
\( x \neq 1 \), সুতরাং:
\[ 4x^2 + 2x - 1 = 0 \]
দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \]
যেহেতু \( 18^\circ \) প্রথম চতুর্ভাগে, \( \sin 18^\circ \) ধনাত্মক। সুতরাং ধনাত্মক মূল নেব:
\[ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \]
এখন \( \cos 36^\circ \) বের করি:
আমরা জানি \( \cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ \) [দ্বিকোণ সূত্র \( \cos 2A = 1 - 2\sin^2 A \) থেকে, যেখানে \( A = 18^\circ \)]
\[ = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2 \]
\[ = 1 - 2\left(\frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16}\right) \]
\[ = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} \]
\[ = \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \]
\[ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \]
অন্যান্য কোণের মান
উপরের দুটি মান ব্যবহার করে এবং পরিপূরক কোণের সূত্র ব্যবহার করে আমরা আরও কিছু মান পাই:
\[ \cos 18^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 18^\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \]
\[ \sin 36^\circ = \sqrt{1 - \cos^2 36^\circ} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \]
\[ \sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \]
\[ \cos 54^\circ = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \]
\[ \sin 72^\circ = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \]
\[ \cos 72^\circ = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \]
- \( \sin 18^\circ = \cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \approx 0.309 \)
- \( \cos 36^\circ = \sin 54^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \approx 0.809 \) [এটি সোনালি অনুপাত \( \phi \) এর অর্ধেক]
- \( \cos 36^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \)
উদাহরণ ২:
প্রমাণ করুন: \( \cos 36^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \)
সমাধান:
\[ \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
উদাহরণ ৩:
মান নির্ণয় করুন: \( \sin^2 18^\circ + \sin^2 54^\circ \)
সমাধান:
আমরা জানি \( \sin 54^\circ = \cos 36^\circ \)
\[ \therefore \sin^2 18^\circ + \cos^2 36^\circ \]
\[ = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right)^2 \]
\[ = \frac{1}{16}[(5 - 2\sqrt{5} + 1) + (5 + 2\sqrt{5} + 1)] \]
\[ = \frac{1}{16}[6 - 2\sqrt{5} + 6 + 2\sqrt{5}] \]
\[ = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
উপগুণিতক সূত্র
\[ \sin \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} \]
\[ \cos \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \]
\[ \tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} \]
t-প্রতিস্থাপন
\( t = \tan \frac{A}{2} \) হলে:
\[ \sin A = \frac{2t}{1 + t^2} \]
\[ \cos A = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \]
\[ \tan A = \frac{2t}{1 - t^2} \]
বিশেষ মান (18°, 36°)
\[ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \]
\[ \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \]
\[ \cos 36^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \]
মনে রাখার কৌশল
- অর্ধকোণ সূত্র দ্বিকোণ সূত্রের উল্টো
- চিহ্ন নির্ধারণ করে \( \frac{A}{2} \) কোন চতুর্থ ভাগে আছে তার উপর
- t-প্রতিস্থাপনে সব কিছু \( \tan \frac{A}{2} \) এর রাশিতে আসে
- 18° এর জন্য মূল সমীকরণ: \( 5\theta = 90^\circ \) বা \( \sin 3\theta = \cos 2\theta \)
- \( \sin 18^\circ \) এর মান \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \), \( \cos 36^\circ \) এর মান \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) (বিভাজক একই, লবে প্লাস মাইনাস উল্টো)