উদাহরণ ১:

\( x = at^2 \), \( y = 2at \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন। (এটি একটি পরাবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ)

সমাধান:

\[ \frac{dx}{dt} = 2at \]

\[ \frac{dy}{dt} = 2a \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} \]

উদাহরণ ২:

\( x = a\cos\theta \), \( y = b\sin\theta \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) এবং \( \frac{d^2y}{dx^2} \) নির্ণয় করুন। (একটি উপবৃত্তের সমীকরণ)

সমাধান:

প্রথম অন্তরজ:

\[ \frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta \]

\[ \frac{dy}{d\theta} = b\cos\theta \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{b\cos\theta}{-a\sin\theta} = -\frac{b}{a}\cot\theta \]

দ্বিতীয় অন্তরজ:

\[ \frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -\frac{b}{a}(-\csc^2\theta) = \frac{b}{a}\csc^2\theta \]

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2\theta}{-a\sin\theta} = -\frac{b}{a^2}\csc^3\theta = -\frac{b}{a^2\sin^3\theta} \]

উদাহরণ ৩:

\( x = a(t - \sin t) \), \( y = a(1 - \cos t) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করুন এবং \( t = \frac{\pi}{2} \) এ মান নির্ণয় করুন। (একটি সাইক্লয়েডের সমীকরণ)

সমাধান:

\[ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t) \]

\[ \frac{dy}{dt} = a\sin t \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t} \]

\[ = \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \cot\frac{t}{2} \]

\( t = \frac{\pi}{2} \) এ:

\[ \frac{dy}{dx} = \cot\frac{\pi}{4} = 1 \]

উদাহরণ ৪:

\( y = x^x \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

\[ \ln y = \ln(x^x) = x\ln x \]

উভয় পক্ষে অন্তরীকরণ:

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \]

\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1) \]

উদাহরণ ৫:

\( y = (\sin x)^{\cos x} \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

\[ \ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x) \]

অন্তরীকরণ:

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \]

\[ = -\sin x \ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \]

\[ \frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\cos x}\left[\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right] \]

\[ = (\sin x)^{\cos x - 1}[\cos^2 x - \sin^2 x \ln(\sin x)] \]

উদাহরণ ৬ (গুণফলের ক্ষেত্রে):

\( y = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)} \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

\[ \ln y = \ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x+3) - \ln(x+4) \]

অন্তরীকরণ:

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} \]

\[ \frac{dy}{dx} = y\left[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right] \]

\[ = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)}\left[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right] \]

প্রয়োজনে ডানপক্ষের ভগ্নাংশগুলো যোগ করে সংক্ষিপ্ত করা যায়।

উদাহরণ ৭:

\( y = x^{\sin x} + (\sin x)^x \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ধরি \( u = x^{\sin x} \) এবং \( v = (\sin x)^x \), তাহলে \( y = u + v \)

\( u \) এর জন্য:

\[ \ln u = \sin x \ln x \]

\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \]

\[ \frac{du}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right) \]

\( v \) এর জন্য:

\[ \ln v = x \ln(\sin x) \]

\[ \frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = \ln(\sin x) + x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} \]

\[ \frac{dv}{dx} = (\sin x)^x\left[\ln(\sin x) + x\cot x\right] \]

সুতরাং:

\[ \frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right) + (\sin x)^x\left[\ln(\sin x) + x\cot x\right] \]