৫. যোগজীকরণ (Integration)
যোগজীকরণ হলো অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে একটি ফাংশনের প্রতি-অন্তরজ (Anti-derivative) নির্ণয় করা যায়, নির্দিষ্ট যোগজের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে যোগজের মান নির্ণয় করা যায়, এবং কীভাবে বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
প্রতি-অন্তরজ বা প্রাথমিক ফাংশন (Anti-derivative)
মৌলিক ধারণা
যদি একটি ফাংশন \(F(x)\) এর অন্তরজ \(f(x)\) হয়, অর্থাৎ \(\frac{d}{dx}[F(x)] = f(x)\), তবে \(F(x)\) কে \(f(x)\) এর প্রতি-অন্তরজ (Anti-derivative) বা প্রাথমিক ফাংশন (Primitive Function) বলা হয়।
\[\int f(x) \, dx = F(x) + C\]
যেখানে \(\int\) হলো যোগজ চিহ্ন (Integral sign), \(f(x)\) হলো যোগজ্য ফাংশন, এবং \(C\) হলো যোগজ ধ্রুবক (Constant of Integration)।
যোগজ ধ্রুবকের প্রয়োজনীয়তা
যেকোনো ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য হয়। সুতরাং যদি \(F(x)\) এর অন্তরজ \(f(x)\) হয়, তবে \(F(x) + 5\), \(F(x) - 3\), বা \(F(x) + C\) (যেকোনো ধ্রুবক \(C\) এর জন্য) এর অন্তরজ ও \(f(x)\) হবে। অতএব, অনির্দিষ্ট যোগজের ফলাফলে একটি অজ্ঞাত ধ্রুবক \(C\) যোগ করতে হয়।
শূন্যের যোগজ (Integration of Zero)
\[\int 0 \, dx = C\]
শূন্য ফাংশনের যোগজ যেকোনো ধ্রুবক হতে পারে। এটি যুক্তিসংগত, কেননা যেকোনো ধ্রুবকের অন্তরজ শূন্য।
উদাহরণ:
\(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\), \(\frac{d}{dx}(x^3 + 7) = 3x^2\), \(\frac{d}{dx}(x^3 - 100) = 3x^2\)
সুতরাং \(\int 3x^2 \, dx = x^3 + C\) যেখানে \(C\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
কতিপয় প্রমিত ফাংশনের যোগজ (Standard Integration Formulas)
নিচের সূত্রগুলো যোগজীকরণের ভিত্তি। এগুলো অন্তরীকরণের সূত্রগুলোর বিপরীত হিসেবে পাওয়া যায়:
বীজগাণিতিক ফাংশন
ঘাতীয় সূত্র
\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\] (\(n \neq -1\))
বিশেষ ক্ষেত্র: \(\int dx = x + C\)
ঘাতাঙ্কিক সূত্র
\[\int e^x \, dx = e^x + C\]
\[\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\] (\(a > 0, a \neq 1\))
লঘারিদমিক সূত্র
\[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\] (\(x \neq 0\))
সংজ্ঞায়িত না হলে পরম মান ব্যবহার
ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
| যোগজ্য ফাংশন | যোগজ ফলাফল |
|---|---|
| \(\int \sin x \, dx\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\int \cos x \, dx\) | \(\sin x + C\) |
| \(\int \sec^2 x \, dx\) | \(\tan x + C\) |
| \(\int \csc^2 x \, dx\) | \(-\cot x + C\) |
| \(\int \sec x \tan x \, dx\) | \(\sec x + C\) |
| \(\int \csc x \cot x \, dx\) | \(-\csc x + C\) |
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x + C\]
\[\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\]
\[\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \sec^{-1}|x| + C\]
\[\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C\]
নির্দিষ্ট যোগজ সম্পর্কিত মূল উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Calculus)
নির্দিষ্ট যোগজ (Definite Integral) হলো নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে যোগজ নির্ণয় করা যা একটি সংখ্যা (ধ্রুবক) হয়। এটি অনির্দিষ্ট যোগজ থেকে আলাদা, যা একটি ফাংশন।
সংজ্ঞা
\[\int_a^b f(x) \, dx\]
এখানে \(a\) হলো নিম্ন সীমা (Lower limit) এবং \(b\) হলো উর্ধ্ব সীমা (Upper limit)।
মৌলিক উপপাদ্য - ১ম অংশ
যদি \(f\) একটি সংবর্তি \([a, b]\) এ নিরবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং আমরা একটি নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি:
\[F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\]
তবে \(F(x)\) হলো \(f(x)\) এর একটি প্রতি-অন্তরজ এবং:
\[F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\]
অর্থাৎ, যোগজের সীমার উপর অন্তরীকরণ করলে যোগজ্য ফাংশন পাওয়া যায়।
মৌলিক উপপাদ্য - ২য় অংশ (মূল্যায়ন উপপাদ্য)
এটি নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র:
যদি \(f\) নিরবিচ্ছিন্ন এবং \(F\) হলো \(f\) এর যেকোনো একটি প্রতি-অন্তরজ (অর্থাৎ \(F' = f\)), তবে:
\[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b\]
এটি লেখা হয় \(\left[F(x)\right]_a^b\) বা \(F(x)\big|_a^b\) আকারে।
উদাহরণ ১:
\(\int_1^3 x^2 \, dx\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(f(x) = x^2\) এর প্রতি-অন্তরজ \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)
\(\int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\)
নির্দিষ্ট যোগজের বৈশিষ্ট্য
- সীমা বিনিময় সূত্র: \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
- সমান সীমা: \(\int_a^a f(x) \, dx = 0\)
- বিভাজন সূত্র: \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx\) যেখানে \(a < c < b\)
- ধ্রুবক গুণনীয়ক: \(\int_a^b kf(x) \, dx = k\int_a^b f(x) \, dx\)
- যোগ সূত্র: \(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx\)
নির্দিষ্ট যোগজের সীমা পরিবর্তন সংক্রান্ত উপপাদ্য (Leibniz Rule)
যখন যোগজের সীমা চলকের উপর নির্ভরশীল হয়, তখন অন্তরজ নেওয়ার জন্য লাইবনিত্জের নিয়ম (Leibniz Integral Rule) প্রয়োগ করা হয়।
যদি \(F(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt\) হয়, তবে:
\[\frac{dF}{dx} = f(v(x)) \cdot \frac{dv}{dx} - f(u(x)) \cdot \frac{du}{dx}\]
বিশেষত, যদি সীমা ধ্রুবক হয় (যেমন \(\int_a^x f(t) \, dt\)), তবে:
\[\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\]
উদাহরণ:
\(\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t \, dt\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে উপরের সীমা \(v(x) = x^2\) এবং নিচের সীমা \(u(x) = 0\) (ধ্রুবক)
লাইবনিত্জের নিয়ম অনুসারে:
\(\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - \sin(0) \cdot \frac{d}{dx}(0)\)
\(= \sin(x^2) \cdot 2x - 0 = 2x\sin(x^2)\)
যাচাই: প্রথমে যোগজ করে: \(\int_0^{x^2} \sin t \, dt = [-\cos t]_0^{x^2} = -\cos(x^2) + 1\)
অন্তরজ: \(\frac{d}{dx}[-\cos(x^2) + 1] = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^2)\) ✓
নির্দিষ্ট যোগজ দ্বারা ক্ষেত্রফল নির্ণয় (Area under Curves)
মৌলিক ধারণা
নির্দিষ্ট যোগজের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হলো—\(y = f(x)\) বক্ররেখা, \(x\)-অক্ষ এবং উলম্ব রেখা \(x = a\) ও \(x = b\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
\(y = f(x)\) বক্ররেখার নিচে \(x = a\) থেকে \(x = b\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল:
\[A = \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b y \, dx\]
শর্ত: \(f(x) \geq 0\) সংবর্তি \([a, b]\) এর সব বিন্দুতে।
যখন বক্ররেখা \(x\)-অক্ষের নিচে থাকে
যদি \(f(x) \leq 0\) হয় \([a, b]\) ব্যবধিতে, তবে যোগজ ঋণাত্মক হবে। ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হওয়ায়:
\[A = \left|\int_a^b f(x) \, dx\right| = -\int_a^b f(x) \, dx\]
দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল
যদি \(y = f(x)\) ও \(y = g(x)\) দুটি বক্ররেখা হয় এবং \([a, b]\) ব্যবধিতে \(f(x) \geq g(x)\), তবে:
\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\]
বা \(\int_a^b (y_{\text{উপরের}} - y_{\text{নিচের}}) \, dx\)
উদাহরণ ১:
বক্ররেখা \(y = x^2\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x = 1\) ও \(x = 3\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(A = \int_1^3 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\) বর্গ একক।
উদাহরণ ২:
বক্ররেখা \(y = x^2\) এবং \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
ছেদ বিন্দু: \(x^2 = x\) বা \(x(x-1) = 0\), সুতরাং \(x = 0\) ও \(x = 1\)
\([0, 1]\) ব্যবধিতে \(y = x\) (সরলরেখা) \(y = x^2\) (পরাবৃত্ত) এর উপরে আছে।
\(A = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1\)
\(= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উদাহরণ ৩:
বক্ররেখা \(y = \sin x\) এর নিচে \(x = 0\) থেকে \(x = \pi\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(A = \int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi}\)
\(= -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2\) বর্গ একক।
লক্ষ্য করুন, \(\pi\) থেকে \(2\pi\) পর্যন্ত সাইন ফাংশন ঋণাত্মক হওয়ায় ক্ষেত্রফল \(\int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx = -2\) হবে, কিন্তু আসল ক্ষেত্রফল \(|-2| = 2\) হবে।
\(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফল
কখনো কখনো \(x = f(y)\) আকারে ক্ষেত্রফল নির্ণয় সহজ হয়:
\[A = \int_c^d x \, dy = \int_c^d f(y) \, dy\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- প্রতি-অন্তরজ: \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\) যেখানে \(F'(x) = f(x)\)। শূন্যের যোগজ যেকোনো ধ্রুবক \(C\)।
- প্রমিত সূত্র: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|\), \(\int e^x dx = e^x\), \(\int \sin x dx = -\cos x\), \(\int \cos x dx = \sin x\) ইত্যাদি।
- মৌলিক উপপাদ্য (১ম): \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)\) — যোগজের অন্তরজ যোগজ্য ফাংশন।
- মৌলিক উপপাদ্য (২য়): \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\) — নিউটন-লাইবনিত্জ সূত্র।
- লাইবনিত্জ নিয়ম: পরিবর্তনশীল সীমার ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)\)।
- ক্ষেত্রফল: বক্ররেখা \(y=f(x)\), \(x\)-অক্ষ এবং রেখা \(x=a\), \(x=b\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল \(= \int_a^b y \, dx\) (যেখানে \(y \geq 0\)।
- দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল \(= \int_a^b (y_{\text{উপরে}} - y_{\text{নিচে}}) dx\)।