দ্বিমাত্রিক জগতে জ্যামিতির সমস্যা সমাধানে ভেক্টরের প্রয়োগ
দ্বিমাত্রিক জ্যামিতি অধ্যয়ের জটিল সমস্যাগুলো সহজে সমাধানের জন্য ভেক্টর পদ্ধতি অত্যন্ত কার্যকরী। এই অধ্যায়ে আমরা অন্তর্বিভাজন ও বহির্বিভাজন সূত্র, বিভিন্ন কেন্দ্রের (কেন্দ্রক, অন্তঃকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, লম্বকেন্দ্র) স্থানাঙ্ক নির্ণয়, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের ভেক্টর পদ্ধতি এবং সরলরেখিক শর্ত সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব। এছাড়াও সমান্তরাল ও লম্ব ভেক্টর নির্ণয়ের শর্ত ও প্রয়োগ শেখা হবে।
অন্তর্বিভাজন ও বহির্বিভাজন সূত্র (Section Formula)
অন্তর্বিভাজন সূত্রের প্রমাণ ও সূত্র (Internal Division)
ধরা যাক, দুটি বিন্দু \( A \) এবং \( B \) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{a} \) এবং \( \vec{b} \)। একটি বিন্দু \( P \) রেখাংশ \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত (internal division) করে। অর্থাৎ \( AP:PB = m:n \)।
আমরা জানি, \( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \)। কারণ \( P \), \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে ভাগ করে, সুতরাং:
\[ \vec{AP} = \frac{m}{m+n} \vec{AB} = \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a}) \]
এখন, \( \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a}) \)
সরলীকরণ করে পাই:
অন্তর্বিভাজন সূত্র:
\[ \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \]
বিকল্পভাবে: \( \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \)
যেখানে \( \vec{p} \) হলো বিন্দু \( P \) এর অবস্থান ভেক্টর।
কার্তেসিয় স্থানাঙ্কে, যদি \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) হয়, তবে \( P \) বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[ P\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
বহির্বিভাজন সূত্র (External Division)
যদি বিন্দু \( P \) রেখাংশ \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে বহির্ভিভুক্ত (external division) করে, অর্থাৎ \( AB \) এর বাইরে \( BA \) বর্ধিতের দিকে \( AP:BP = m:n \) হয়, তবে সূত্রটি হয়:
বহির্বিভাজন সূত্র:
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m-n} \]
বা কার্তেসিয় রূপে:
\[ P\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n} \right) \]
মধ্যবিন্দুর সূত্র (Midpoint Formula)
যখন \( m = n = 1 \), অর্থাৎ বিন্দুটি রেখাংশের ঠিক মাঝখানে থাকে, তখন এটি মধ্যবিন্দু। সূত্রটি দাঁড়ায়:
\[ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]
স্থানাঙ্কে: \( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
উদাহরণ ১ (অন্তর্বিভাজন):
বিন্দু \( A(2, -3) \) এবং \( B(4, 5) \) এর সংযোগ রেখাকে \( 3:2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, অনুপাত \( m:n = 3:2 \)
অতএব, \( \vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} \), \( \vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} \)
অন্তর্বিভাজন সূত্র অনুযায়ী:
\[ \vec{p} = \frac{3(4\hat{i} + 5\hat{j}) + 2(2\hat{i} - 3\hat{j})}{3+2} \]
\[ = \frac{12\hat{i} + 15\hat{j} + 4\hat{i} - 6\hat{j}}{5} \]
\[ = \frac{16\hat{i} + 9\hat{j}}{5} = \frac{16}{5}\hat{i} + \frac{9}{5}\hat{j} \]
সুতরাং বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( \left( \frac{16}{5}, \frac{9}{5} \right) \) বা \( (3.2, 1.8) \)।
উদাহরণ ২ (বহির্বিভাজন):
বিন্দু \( A(1, 2) \) এবং \( B(3, 4) \) এর সংযোগ রেখাকে \( 2:1 \) অনুপাতে বহির্ভিভুক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \vec{p} = \frac{2(3\hat{i} + 4\hat{j}) - 1(1\hat{i} + 2\hat{j})}{2-1} \]
\[ = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j} - \hat{i} - 2\hat{j}}{1} = 5\hat{i} + 6\hat{j} \]
সুতরাং বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (5, 6) \)।
ত্রিভুজের বিভিন্ন কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় (Centers of Triangle)
১. কেন্দ্রক বা ভরকেন্দ্র (Centroid)
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা (median) যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কেন্দ্রক বলা হয়। কেন্দ্রক প্রতিটি মধ্যমাকে \( 2:1 \) অনুপাতে ভাগ করে।
যদি ত্রিভুজ \( ABC \) এর শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) এবং \( \vec{c} \) হয়, তবে কেন্দ্রক \( G \) এর অবস্থান ভেক্টর:
কেন্দ্রকের সূত্র:
\[ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \]
কার্তেসিয় স্থানাঙ্কে: \( G\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \)
২. অন্তঃকেন্দ্র (Incenter)
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে। অন্তঃকেন্দ্র থেকে তিনটি বাহুর দূরত্ব সমান এবং এটি অন্তঃস্থ বৃত্তের কেন্দ্র।
যদি \( a, b, c \) যথাক্রমে \( BC, CA, AB \) বাহুর দৈর্ঘ্য হয়, তবে অন্তঃকেন্দ্র \( I \) এর অবস্থান ভেক্টর:
অন্তঃকেন্দ্রের সূত্র:
\[ \vec{i} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c} \]
এখানে \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) হলো \( A, B, C \) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর। লক্ষ্য করুন, ভরের পরিবর্তে এখানে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ব্যবহৃত হয়েছে।
৩. পরিকেন্দ্র (Circumcenter)
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে পরিকেন্দ্র বলে। এটি ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র এবং তিনটি শীর্ষ থেকে সমদূরবর্তী।
পরিকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়ের সূত্র:
\[ \vec{o} = \frac{a^2(b^2+c^2-a^2)\vec{a} + b^2(c^2+a^2-b^2)\vec{b} + c^2(a^2+b^2-c^2)\vec{c}}{16\Delta^2} \cdot 2\Delta \]
বা সরল রূপে:
\[ \vec{o} = \frac{\vec{a}\sin 2A + \vec{b}\sin 2B + \vec{c}\sin 2C}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \]
যেখানে \( \Delta \) হলো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
৪. লম্বকেন্দ্র (Orthocenter)
ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষলম্ব যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।
\[ \vec{h} = \frac{\vec{a}\tan A + \vec{b}\tan B + \vec{c}\tan C}{\tan A + \tan B + \tan C} \]
উদাহরণ ৩ (কেন্দ্রক ও অন্তঃকেন্দ্র):
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো \( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \), \( C(0, 4) \) হলে কেন্দ্রক ও অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
সমাধান:
কেন্দ্রক:
\[ \vec{g} = \frac{(0,0) + (3,0) + (0,4)}{3} = \frac{(3,4)}{3} = \left(1, \frac{4}{3}\right) \]
অন্তঃকেন্দ্র:
প্রথমে বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
\( a = BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)
\( b = CA = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4 \)
\( c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3 \)
\[ \vec{i} = \frac{5(0,0) + 4(3,0) + 3(0,4)}{5+4+3} = \frac{(0,0) + (12,0) + (0,12)}{12} = \frac{(12,12)}{12} = (1, 1) \]
সুতরাং অন্তঃকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (1, 1) \)।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় (Area of Triangle)
ভেক্টর পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল
ধরা যাক, ত্রিভুজ \( ABC \) এর শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) এবং \( \vec{c} \)।
ত্রিভুজের দুটি বাহু প্রকাশ করা যায়: \( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \) এবং \( \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} \)
দ্বিমাত্রিক জগতে, দুটি ভেক্টর \( \vec{u} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} \) এবং \( \vec{v} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j} \) এর ক্রস গুণের মান (যা \( z \)-অক্ষ বরাবর একটি ভেক্টর দেয়):
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_1 & y_1 & 0 \\ x_2 & y_2 & 0 \end{vmatrix} = (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{k} \]
অতএব, \( |\vec{u} \times \vec{v}| = |x_1y_2 - x_2y_1| \)
ক্ষেত্রফলের সূত্র
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
\[ \Delta = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \]
\[ = \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})| \]
\[ = \frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1) - (x_3-x_1)(y_2-y_1)| \]
সারণি পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল
যদি শীর্ষবিন্দুগুলো \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) হয়, তবে:
\[ \Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \]
বা নির্ণয়ক আকারে:
\[ \Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \]
উদাহরণ ৪ (ক্ষেত্রফল):
বিন্দু \( A(1, 2) \), \( B(4, 5) \), \( C(7, 8) \) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( \vec{AB} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} = 3\hat{i} + 3\hat{j} \)
\( \vec{AC} = (7-1)\hat{i} + (8-2)\hat{j} = 6\hat{i} + 6\hat{j} \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (3)(6) - (6)(3) = 18 - 18 = 0 \)
সুতরাং ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |0| = 0 \) বর্গ একক।
ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল শূন্য হওয়ায় বিন্দুগুলো সরলরেখিক (পরের আলোচনায় বিস্তারিত)।
উদাহরণ ৫:
বিন্দু \( A(0, 0) \), \( B(5, 0) \), \( C(3, 4) \) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( \vec{AB} = 5\hat{i} \), \( \vec{AC} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (5)(4) - (0)(3) = 20 \)
ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \) বর্গ একক।
সারণি পদ্ধতিতে যাচাই:
\( \Delta = \frac{1}{2} |0(0-4) + 5(4-0) + 3(0-0)| = \frac{1}{2} |0 + 20 + 0| = 10 \) বর্গ একক।
সরলরেখিক শর্ত ও অনুপ্রয়োগ (Condition for Collinearity)
সরলরেখিক বিন্দুর সংজ্ঞা
তিন বা ততোধিক বিন্দু একই সরল রেখায় অবস্থান করলে তাদের সরলরেখিক (Collinear) বলা হয়।
১. ভেক্টর পদ্ধতিতে সরলরেখিক শর্ত
তিনটি বিন্দু \( A \), \( B \), \( C \) সরলরেখিক হবে যদি:
- \( \vec{AB} = k \cdot \vec{BC} \) (যেখানে \( k \) একটি বাস্তব সংখ্যা)
- অর্থাৎ \( \vec{AB} \) এবং \( \vec{BC} \) সমান্তরাল
২. ক্রস গুণ পদ্ধতি
দুটি ভেক্টর \( \vec{AB} \) এবং \( \vec{AC} \) সমান্তরাল হলে তাদের ক্রস গুণ শূন্য হবে।
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0} \]
বা, \( (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0} \)
৩. ক্ষেত্রফল পদ্ধতি
তিনটি বিন্দু সরলরেখিক হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।
\[ \text{ক্ষেত্রফল} = 0 \]
বা, \( x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) = 0 \)
৪. অনুপাত পদ্ধতি
বিন্দু \( C \), \( AB \) কে \( m:n \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত করে এমন \( m \) এবং \( n \) বিদ্যমান থাকলে বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
উদাহরণ ৬ (সরলরেখিক পরীক্ষা):
দেখাও যে বিন্দু \( A(2, 3) \), \( B(4, 7) \), \( C(6, 11) \) সরলরেখিক।
সমাধান (ক্রস গুণ পদ্ধতি):
\( \vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} = 2\hat{i} + 4\hat{j} \)
\( \vec{AC} = (6-2)\hat{i} + (11-3)\hat{j} = 4\hat{i} + 8\hat{j} \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (2)(8) - (4)(4) = 16 - 16 = 0 \)
যেহেতু ক্রস গুণ শূন্য, সুতরাং \( \vec{AB} \) এবং \( \vec{AC} \) সমান্তরাল এবং একটি বিন্দু \( A \) সাধারণ, অতএব বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
সমাধান (অনুপাত পদ্ধতি):
\( \vec{AB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} \) এবং \( \vec{BC} = (6-4)\hat{i} + (11-7)\hat{j} = 2\hat{i} + 4\hat{j} \)
দেখা যাচ্ছে \( \vec{AB} = \vec{BC} \), অর্থাৎ \( B \), \( AC \) কে \( 1:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত করে।
উদাহরণ ৭ (অজ্ঞাত স্থানাঙ্ক নির্ণয়):
কোন মানের জন্য \( k \) এর মান \( A(k, 2) \), \( B(3, 4) \), \( C(5, 6) \) বিন্দুগুলো সরলরেখিক হবে?
সমাধান:
সরলরেখিক শর্ত অনুযায়ী ক্ষেত্রফল \( = 0 \)
\[ \frac{1}{2} |k(4-6) + 3(6-2) + 5(2-4)| = 0 \]
\[ |k(-2) + 3(4) + 5(-2)| = 0 \]
\[ |-2k + 12 - 10| = 0 \]
\[ |-2k + 2| = 0 \]
\[ -2k + 2 = 0 \]
\[ k = 1 \]
সুতরাং \( k = 1 \) হলে বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
সমান্তরাল ও লম্ব ভেক্টরের শর্ত (Parallel and Perpendicular Conditions)
সমান্তরাল ভেক্টর (Parallel Vectors)
দুটি ভেক্টর একই দিকে বা বিপরীত দিকে সমান্তরাল হলে তাদের সমান্তরাল বলা হয়।
সমান্তরাল শর্ত:
দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) সমান্তরাল হবে যদি:
\[ \vec{a} = k\vec{b} \]
যেখানে \( k \) একটি স্কেলার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যা।
কার্তেসিয় অংশকের জন্য:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} \]
(অংশকগুলো সমানুপাতিক)
লম্ব ভেক্টর (Perpendicular Vectors)
দুটি ভেক্টর পরস্পর \( 90^\circ \) কোণ উৎপন্ন করলে তারা পরস্পর লম্ব।
লম্ব শর্ত:
দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) পরস্পর লম্ব হবে যদি:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
কার্তেসিয় অংশকের জন্য:
\[ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 \]
অর্থাৎ \( \frac{a_1}{b_2} = -\frac{a_2}{b_1} \) বা \( a_1b_2 = -a_2b_1 \)
উদাহরণ ৮ (সমান্তরাল পরীক্ষা):
দেখাও যে \( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \) এবং \( \vec{b} = 4\hat{i} + 6\hat{j} \) সমান্তরাল।
সমাধান:
অনুপাত পদ্ধতি:
\( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) এবং \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
যেহেতু \( \frac{2}{4} = \frac{3}{6} \), সুতরাং ভেক্টরগুলো সমান্তরাল।
বিকল্পভাবে: \( \vec{b} = 2\vec{a} \), সুতরাং \( k = 2 \)।
উদাহরণ ৯ (লম্ব পরীক্ষা):
দেখাও যে \( \vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} \) এবং \( \vec{b} = 8\hat{i} + 6\hat{j} \) পরস্পর লম্ব।
সমাধান:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(8) + (-4)(6) = 24 - 24 = 0 \)
যেহেতু বিন্দু গুণ শূন্য, সুতরাং ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।
উদাহরণ ১০ (অজ্ঞাত মান নির্ণয়):
\( \vec{a} = (k+1)\hat{i} + 2\hat{j} \) এবং \( \vec{b} = 3\hat{i} + (k-1)\hat{j} \) পরস্পর লম্ব হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
লম্ব শর্ত: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
\( (k+1)(3) + (2)(k-1) = 0 \)
\( 3k + 3 + 2k - 2 = 0 \)
\( 5k + 1 = 0 \)
\( k = -\frac{1}{5} \)
সরল রেখার ভেক্টর সমীকরণ (Vector Equation of Straight Line)
দ্বিমাত্রিক জগতে সরল রেখার সমীকরণ
দ্বিমাত্রিক তলে একটি সরল রেখা নির্ণয় করতে হলে একটি বিন্দু এবং দিক (অথবা ঢাল) জানা প্রয়োজন।
১. বিন্দু ও দিক ভেক্টর দেওয়া থাকলে
যে রেখা বিন্দু \( A \) দিয়ে যায় এবং \( \vec{d} = a\hat{i} + b\hat{j} \) ভেক্টরের সমান্তরাল:
\[ \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{d} \]
যেখানে \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} \) হলো রেখার যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং \( \lambda \) একটি স্কেলার পরামিতি।
কার্তেসিয় রূপে:
\[ \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \lambda \]
২. দুই বিন্দু দেওয়া থাকলে
বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) দিয়ে যাওয়া রেখার সমীকরণ:
\[ \vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) \]
বা কার্তেসিয় রূপে:
\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]
৩. দুই রেখার অন্তর্গত কোণ
যদি দুটি রেখার দিক ভেক্টর যথাক্রমে \( \vec{d_1} \) এবং \( \vec{d_2} \) হয়, তবে তাদের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \):
\[ \cos\theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|} \]
উদাহরণ ১১:
বিন্দু \( (2, -1) \) দিয়ে যায় এবং \( 3\hat{i} + 4\hat{j} \) এর সমান্তরাল এমন রেখার ভেক্টর সমীকরণ ও কার্তেসিয় সমীকরণ লেখ।
সমাধান:
\( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} \), \( \vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)
ভেক্টর সমীকরণ: \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{j}) \)
বা \( \vec{r} = (2+3\lambda)\hat{i} + (-1+4\lambda)\hat{j} \)
কার্তেসিয় সমীকরণ: \( \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} \)
বা \( 4(x-2) = 3(y+1) \) বা \( 4x - 8 = 3y + 3 \) বা \( 4x - 3y - 11 = 0 \)
বিশেষ সমস্যা ও প্রয়োগ (Advanced Applications)
বিন্দু থেকে সরল রেখার দূরত্ব (Distance from a Point to a Line)
ভেক্টর পদ্ধতিতে, বিন্দু \( P \) থেকে \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{d} \) রেখার লম্ব দূরত্ব:
\[ d = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \hat{d}|}{1} = |(\vec{p} - \vec{a}) \times \hat{d}| \]
যেখানে \( \hat{d} \) হলো \( \vec{d} \) এর একক ভেক্টর।
বিকল্পভাবে:
\[ d = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \]
দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ (দ্বিবিভাজন সূত্রের প্রয়োগ)
দুই বিন্দু \( A \) ও \( B \) এর সংযোগ রেখার উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু \( P \) এর অবস্থান ভেক্টর:
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \]
ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, যদি \( P \), \( AB \) কে \( \lambda:1 \) অনুপাতে ভাগ করে, তবে:
\[ \vec{p} = \frac{\lambda\vec{b} + \vec{a}}{\lambda+1} \]
উদাহরণ ১২:
দেখাও যে বিন্দু \( A(1, 2) \), \( B(3, 4) \) এবং মূলবিন্দু \( O(0,0) \) এর মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা কর। যদি \( C \) বিন্দু \( AB \) কে \( 2:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত করে, তবে \( OC \) এবং \( OA, OB \) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( \vec{c} = \frac{2\vec{b} + \vec{a}}{3} = \frac{2(3,4) + (1,2)}{3} = \frac{(6,8) + (1,2)}{3} = \frac{(7,10)}{3} \)
সুতরাং \( 3\vec{c} = 2\vec{b} + \vec{a} \)
বা \( \vec{OC} = \frac{2\vec{OB} + \vec{OA}}{3} \)
এই সম্পর্কটি কেন্দ্রকের সূত্রের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
অন্তর্বিভাজন
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \]
বহির্বিভাজন
\[ \vec{p} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m-n} \]
মধ্যবিন্দু
\[ \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]
কেন্দ্রক
\[ \vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} \]
অন্তঃকেন্দ্র
\[ \vec{i} = \frac{a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}{a+b+c} \]
ক্ষেত্রফল
\[ \Delta = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| \]
সরলরেখিক
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = 0 \]
সমান্তরাল
\[ \vec{a} = k\vec{b} \]
লম্ব
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
মুখস্থ করার তালিকা
- অন্তর্বিভাজন সূত্রের ভেক্টর রূপ ও কার্তেসিয় রূপ দুটিই জানতে হবে।
- বহির্বিভাজনে ভাজকে বিয়োগ চিহ্ন আসে, অন্তর্বিভাজনে যোগ চিহ্ন।
- কেন্দ্রক হলো মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দু এবং শীর্ষের অবস্থান ভেক্টরের গড়।
- অন্তঃকেন্দ্রে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য ভর হিসেবে ব্যবহৃত হয়।
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} \) × ভূমি × উচ্চতা = \( \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \)
- ক্ষেত্রফল শূন্য মানে বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
- সমান্তরাল ভেক্টরের অনুপাত সমান, লম্ব ভেক্টরের বিন্দু গুণ শূন্য।
- সরল রেখার ভেক্টর সমীকরণ: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{d} \)