অন্তরজ ও অন্তরীকরণ (Derivative and Differentiation)
এতদিন আমরা শিখেছি লিমিটের ধারণা। এবার সেই লিমিটকে কাজে লাগিয়ে আমরা শিখব কীভাবে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার (Rate of Change) নির্ণয় করা যায়। এই পরিবর্তনের হারই হলো অন্তরজ (Derivative)। যদি আমরা একটি বস্তুর গতি জানতে চাই, বা একটি বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে ঢাল জানতে চাই, তখন অন্তরজের প্রয়োগ অপরিহার্য। এই অধ্যায়ে আমরা লিমিট হিসেবে অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে শুরু করে বিভিন্ন ধরনের ফাংশনের অন্তরীকরণের সূত্রাবলী শিখব, যার মধ্যে রয়েছে গুণফল, যোগফল ও ভাগফলের সূত্র।
লিমিট হিসেবে অন্তরজ (Derivative as a Limit)
জ্যামিতিক অর্থ
একটি বক্ররেখা \( y = f(x) \) এর উপর দুটি বিন্দু \( P(x, f(x)) \) এবং \( Q(x+h, f(x+h)) \) নিলাম। এই দুই বিন্দুর সংযোগ রেখা (জ্যা) এর ঢাল হলো:
\[ m_{sec} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
যখন \( Q \) বিন্দুকে \( P \) এর কাছাকাছি নিয়ে আসি, অর্থাৎ \( h \to 0 \) করি, তখন জ্যা রেখাটি স্পর্শক রেখায় পরিণত হয় এবং ঢালটি হয় স্পর্শকের ঢাল।
বিশ্লেষণমূলক সংজ্ঞা (Analytical Definition)
ফাংশন \( f(x) \) এর \( x \) বিন্দুতে অন্তরজ সংজ্ঞায়িত হয়:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
যদি এই লিমিট অস্তিত্বশীল হয়।
একে আরও কয়েকভাবে লেখা হয়:
- \( \frac{dy}{dx} \) (লেইবনিজের স্বরূপ)
- \( \frac{d}{dx}f(x) \)
- \( y' \) বা \( f'(x) \) (ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরূপ)
- \( Df(x) \) (অপারেটর স্বরূপ)
বিকল্প সংজ্ঞা
যদি \( x = a + h \) বসাই, তাহলে \( h = x - a \) এবং \( h \to 0 \) মানে \( x \to a \):
\[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \]
উদাহরণ ১ (সংজ্ঞা থেকে প্রমাণ):
সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে \( f(x) = x^2 \) এর অন্তরজ \( f'(x) = 2x \)
সমাধান:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} (2x + h) \]
\[ = 2x \]
\(x^n\) এর অন্তরজ নির্ণয়
\[ \frac{d}{dx}(x^n) \] যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। --- ## প্রমাণ সংজ্ঞা অনুযায়ী, \[ \frac{d}{dx}(x^n) = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \] এখন Binomial Theorem ব্যবহার করি। \[ (x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 +\cdots+ h^n \] অতএব, \[ (x+h)^n-x^n = \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 +\cdots+ h^n \] উভয় পাশে \(h\) দ্বারা ভাগ করলে, \[ \frac{(x+h)^n-x^n}{h} = \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h +\cdots+ h^{\,n-1} \] এখন \(h\to0\) হলে, \[ \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} = \binom{n}{1}x^{n-1} \] কারণ \(h\)-যুক্ত প্রতিটি পদ শূন্য হয়ে যায়। এবং, \[ \binom{n}{1}=n \] সুতরাং, \[ \boxed{ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{\,n-1} } \] --- ## Root Rule থেকে একই ফলাফল (ঐচ্ছিক) ধরি, \[ y=x^n \] তাহলে, \[ y+h=(x+\Delta x)^n \] অর্থাৎ, \[ (y+h)-y = (x+\Delta x)^n-x^n \] এখন, \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \] Binomial Expansion ব্যবহার করলে, \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\Delta x +\cdots + (\Delta x)^{n-1} \] এখন \(\Delta x\to0\) হলে, \[ \frac{dy}{dx} = nx^{n-1} \] অতএব, \[ \boxed{ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{\,n-1} } \]মৌলিক অন্তরীকরণ সূত্রাবলী
১. ধ্রুবকের অন্তরজ
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \]
যেখানে \( c \) একটি ধ্রুবক।
২. ঘাতের সূত্র (Power Rule)
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
যেখানে \( n \) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
৩. ধ্রুবক গুণকের সূত্র
\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c\frac{d}{dx}f(x) \]
৪. যোগফল ও বিয়োগফলের সূত্র
\[ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
উদাহরণ ২:
\( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7 \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 5 \cdot 1 - 0 \]
\[ = 12x^3 - 6x^2 + 5 \]
গুণফল ও ভাগফলের অন্তরজ (Product and Quotient Rules)
১. গুণফলের সূত্র (Product Rule)
যদি \( u = f(x) \) এবং \( v = g(x) \) হয়, তবে:
\[ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \]
বা সংক্ষেপে:
\[ (uv)' = u'v + uv' \]
মনে রাখার কৌশল: "প্রথমটির অন্তরজ গুণ দ্বিতীয়টির সাথে, যোগ দ্বিতীয়টির অন্তরজ গুণ প্রথমটির সাথে"
উদাহরণ ৩:
\( f(x) = x^2 \sin x \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = x^2 \) এবং \( v = \sin x \)
তাহলে \( \frac{du}{dx} = 2x \) এবং \( \frac{dv}{dx} = \cos x \)
\[ \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = x^2 \cdot \cos x + \sin x \cdot 2x \]
\[ = x^2\cos x + 2x\sin x \]
\[ = x(x\cos x + 2\sin x) \]
২. ভাগফলের সূত্র (Quotient Rule)
যদি \( u = f(x) \) এবং \( v = g(x) \) হয়, তবে:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \]
বা সংক্ষেপে:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
মনে রাখার কৌশল: "নিচেরটির বর্গ, উপরে নিচেরটির অন্তরজ গুণ উপরেরটা বিয়োগ উপরেরটির অন্তরজ গুণ নিচেরটা" - সাবধানতা: ক্রম মনে রাখুন, নিচেরটির অন্তরজ প্রথমে!
উদাহরণ ৪:
\( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = x^2 \) এবং \( v = x+1 \)
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = \frac{(x+1) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} \]
\[ = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \]
\[ = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
\[ = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \]
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরীকরণ
লিমিট \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \) ব্যবহার করে আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোর অন্তরজ বের করতে পারি।
মৌলিক সূত্রসমূহ:
\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
\[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
\[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
\[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
চেইন রুলের সাথে (Chain Rule)
যদি \( u \) একটি \( x \) এর ফাংশন হয়, তবে:
\[ \frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \cdot \frac{du}{dx} \]
উদাহরণ ৫:
\( f(x) = \sin(3x^2) \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = 3x^2 \), তাহলে \( \frac{du}{dx} = 6x \)
\[ \frac{d}{dx}(\sin 3x^2) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2) \]
সূচক ও লগারিদমিক ফাংশনের অন্তরীকরণ
সূচক ফাংশন (Exponential Function)
সংখ্যা \( e \approx 2.71828 \) এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেন:
\[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \]
এটি \( e^x \) এর বিশেষ গুণ, যে এর অন্তরজ আবার নিজেই!
আরও সাধারণভাবে:
\[ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \]
লগারিদমিক ফাংশন (Logarithmic Function)
\[ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
আরও সাধারণভাবে:
\[ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \]
চেইন রুলের সাথে
\[ \frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx} \]
\[ \frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]
উদাহরণ ৬:
\( f(x) = e^{x^2} \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \]
উদাহরণ ৭:
\( f(x) = \ln(x^3 + 1) \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
\[ \frac{d}{dx}[\ln(x^3+1)] = \frac{1}{x^3+1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3+1} \]
চেইন রুল (Chain Rule) - সংক্ষিপ্ত পরিচিতি
যদি \( y = f(u) \) এবং \( u = g(x) \), অর্থাৎ \( y \) একটি মধ্যবর্তী চলক \( u \) এর মাধ্যমে \( x \) এর ফাংশন, তবে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]
অথবা যদি \( y = f(g(x)) \), তবে:
\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
উদাহরণ ৮:
\( f(x) = (3x^2 + 1)^5 \) এর অন্তরজ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি \( u = 3x^2 + 1 \), তাহলে \( y = u^5 \)
\[ \frac{dy}{du} = 5u^4 \quad \text{ এবং } \quad \frac{du}{dx} = 6x \]
\[ \frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot 6x = 5(3x^2+1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4 \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
সংজ্ঞা
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
মৌলিক সূত্র
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
\[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \]
\[ (f \pm g)' = f' \pm g' \]
গুণফল ও ভাগফল
\[ (uv)' = u'v + uv' \]
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
বিশেষ ফাংশন
\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
\[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \]
\[ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
অন্তরীকরণের পরামর্শ
- প্রথমে ফাংশনটি কী ধরনের তা চিনুন (বহুপদী, ত্রিকোণমিতিক, সূচক, গুণফল, ভাগফল)
- মৌলিক সূত্রগুলো মুখস্থ রাখুন
- গুণফলে প্রোডাক্ট রুল, ভাগফলে কোশেন্ট রুল ব্যবহার করুন
- জটিল ফাংশনে চেইন রুল প্রয়োগ করুন (ভেতরের ফাংশনের অন্তরজ গুণ করতে ভুলবেন না)
- উত্তর সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করুন