ত্রিকোণমিতিক কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সূত্রাবলী
এই অধ্যায়ে আমরা ত্রিকোণমিতিক কোণের মৌলিক ধারণা, কোণের পরিমাপের একক ডিগ্রী (Degree) এবং রেডিয়ান (Radian) এর মধ্যে সম্পর্ক ও রূপান্তর পদ্ধতি এবং বৃত্ত সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র—যেমন বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য (Arc Length) এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল (Area of Sector) নির্ণয়ের পদ্ধতি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
ত্রিকোণমিতিক কোণ (Trigonometric Angles)
কোণের সংজ্ঞা
একটি কোণ সৃষ্টি হয় যখন একটি সরলরেখা অন্য একটি সরলরেখা থেকে ঘুরে আসে এবং তাদের মধ্যে যে ক্ষেত্র তৈরি হয় তাকে কোণ বলে। ত্রিকোণমিতিতে কোণকে ধনাত্মক (Positive) বা ঋণাত্মক (Negative) হিসেবে বিবেচনা করা হয়, যা নির্ভর করে ঘূর্ণনের দিকের উপর।
কোণের ঘূর্ণনের দিক
- ধনাত্মক কোণ: যখন কোণটি বামাবর্তে (Anticlockwise) ঘোরানো হয়, তখন তাকে ধনাত্মক কোণ বলা হয়।
- ঋণাত্মক কোণ: যখন কোণটি ডানাবর্তে (Clockwise) ঘোরানো হয়, তখন তাকে ঋণাত্মক কোণ বলা হয়।
মানক বা প্রামাণ্য অবস্থান (Standard Position)
একটি কোণকে মানক অবস্থানে বলা হয় যখন এর শীর্ষবিন্দু সমতলের মূলবিন্দুতে অবস্থিত থাকে এবং প্রারম্ভিক বাহু \( x \)-অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর থাকে। পরিভ্রামণ বাহু কোণটি উৎপন্ন করে।
চতুর্ভাগ (Quadrants)
মানক অবস্থানে কোণের পরিভ্রামণ বাহু যে চতুর্ভাগে থাকে, সেই অনুযায়ী কোণগুলোকে চারটি চতুর্ভাগে ভাগ করা যায়:
- প্রথম চতুর্ভাগ: \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \) বা \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \) বা \( \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)
- তৃতীয় চতুর্ভাগ: \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \) বা \( \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \)
- চতুর্থ চতুর্ভাগ: \( 270^\circ < \theta < 360^\circ \) বা \( \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi \)
চতুর্ভাগ কোণ (Quadrantal Angles)
যে সকল কোণের পরিভ্রামণ বাহু কোনো অক্ষের উপর অবস্থিত থাকে, তাদেৎ চতুর্ভাগ কোণ বলা হয়। যেমন: \( 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ \) ইত্যাদি।
সমকেন্দ্রিক কোণ (Coterminal Angles)
দুটি বা ততোধিক কোণকে সমকেন্দ্রিক কোণ বলা হয় যদি তাদের প্রারম্ভিক বাহু এবং পরিভ্রামণ বাহু একই অবস্থানে থাকে। অর্থাৎ, যদি দুটি কোণের পার্থক্য \( 360^\circ \) বা \( 2\pi \) রেডিয়ানের গুণিতক হয়, তবে তারা সমকেন্দ্রিক।
কোণ \( \theta \) এর সমকেন্দ্রিক কোণগুলো হলো:
\[ \theta + n \times 360^\circ \] (ডিগ্রীতে)
বা
\[ \theta + 2n\pi \] (রেডিয়ানে)
যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \) (পূর্ণসংখ্যা)।
ডিগ্রী ও রেডিয়ানের সম্পর্ক (Degree and Radian)
কোণ পরিমাপের একক
ত্রিকোণমিতিতে কোণ পরিমাপ করতে দুটি প্রধান পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়:
- সেক্সাজেসিমাল পদ্ধতি (Sexagesimal System): কোণকে ডিগ্রী (Degree), মিনিট (Minute) এবং সেকেন্ড (Second) এ পরিমাপ করা হয়।
- বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System): কোণকে রেডিয়ান (Radian) এ পরিমাপ করা হয়।
ডিগ্রী পদ্ধতি (Degree Measure)
যদি একটি বৃত্তের কেন্দ্রে অঙ্কিত কোণের পরিভ্রামণ বাহু বৃত্তের পরিধির \( \frac{1}{360} \) অংশ কাটে, তবে ঐ কোণের পরিমাপ \( 1^\circ \) (এক ডিগ্রী)।
\[ 1^\circ = 60' \text{ (মিনিট)} \]
\[ 1' = 60'' \text{ (সেকেন্ড)} \]
\[ \therefore 1^\circ = 3600'' \]
রেডিয়ান পদ্ধতি (Radian Measure)
এক রেডিয়ান এমন একটি কোণ যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে এবং যে কোণ বৃত্তের পরিধি থেকে ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ কাটে।
অর্থাৎ, যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) এবং চাপের দৈর্ঘ্য \( s = r \) হয়, তবে কোণ \( \theta = 1 \) রেডিয়ান।
ডিগ্রী ও রেডিয়ানের সম্পর্ক
একটি বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্য \( 2\pi r \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)। সম্পূর্ণ বৃত্তের কোণ \( 360^\circ \) বা \( 2\pi \) রেডিয়ান।
সুতরাং:
\[ 360^\circ = 2\pi \text{ রেডিয়ান} \]
বা,
\[ 180^\circ = \pi \text{ রেডিয়ান} \]
রূপান্তর সূত্র
ডিগ্রী থেকে রেডিয়ানে রূপান্তর:
\[ \text{রেডিয়ান} = \text{ডিগ্রী} \times \frac{\pi}{180^\circ} \]
রেডিয়ান থেকে ডিগ্রীতে রূপান্তর:
\[ \text{ডিগ্রী} = \text{রেডিয়ান} \times \frac{180^\circ}{\pi} \]
গুরুত্বপূর্ণ রূপান্তর (সারণি)
| ডিগ্রী | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| রেডিয়ান | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( 2\pi \) |
উদাহরণ ১:
\( 135^\circ \) কে রেডিয়ানে রূপান্তর কর।
সমাধান:
\[ 135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান} \]
\[ = \frac{3\pi}{4} \text{ রেডিয়ান} \]
উদাহরণ ২:
\( \frac{5\pi}{6} \) রেডিয়ানকে ডিগ্রীতে রূপান্তর কর।
সমাধান:
\[ \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} \]
\[ = \frac{5 \times 180^\circ}{6} \]
\[ = 150^\circ \]
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য (Arc Length)
সংজ্ঞা ও সূত্র
একটি বৃত্তের কেন্দ্রে অঙ্কিত কোণ \( \theta \) (রেডিয়ানে) এবং ব্যাসার্ধ \( r \) হলে, ঐ কোণ দ্বারা অন্তর্লিখিত চাপের দৈর্ঘ্য \( s \) নির্ণয়ের সূত্র:
\[ s = r\theta \]
যেখানে \( \theta \) অবশ্যই রেডিয়ানে পরিমাপিত হতে হবে।
সূত্রের প্রমাণ
আমরা জানি, সম্পূর্ণ বৃত্তের কোণ \( 2\pi \) রেডিয়ান এবং পরিধি \( 2\pi r \)।
অনুপাত অনুযায়ী:
\[ \frac{\text{চাপের দৈর্ঘ্য}}{\text{পরিধি}} = \frac{\text{কেন্দ্রস্থ কোণ}}{\text{সম্পূর্ণ কোণ}} \]
\[ \frac{s}{2\pi r} = \frac{\theta}{2\pi} \]
\[ s = r\theta \]
ডিগ্রীতে কোণ দেওয়া থাকলে
যদি কোণ \( \theta^\circ \) ডিগ্রীতে দেওয়া থাকে:
\[ s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \]
বা
\[ s = \frac{\pi r \theta^\circ}{180^\circ} \]
উদাহরণ ৩:
ব্যাসার্ধ \( 7 \) সেমি বিশিষ্ট একটি বৃত্তে কেন্দ্রস্থ কোণ \( \frac{\pi}{3} \) রেডিয়ান দ্বারা অন্তর্লিখিত চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ r = 7 \text{ সেমি}, \theta = \frac{\pi}{3} \]
\[ s = r\theta = 7 \times \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \text{ সেমি} \]
\[ \approx \frac{7 \times 3.1416}{3} \approx 7.33 \text{ সেমি} \]
উদাহরণ ৪:
ব্যাসার্ধ \( 10 \) সেমি বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্রে অঙ্কিত \( 72^\circ \) কোণ দ্বারা কত সেমি চাপ কাটা হবে?
সমাধান:
\[ s = 2\pi r \times \frac{\theta}{360^\circ} \]
\[ = 2\pi \times 10 \times \frac{72}{360} \]
\[ = 20\pi \times \frac{1}{5} \]
\[ = 4\pi \text{ সেমি} \approx 12.57 \text{ সেমি} \]
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল (Area of Sector and Segment)
১. বৃত্তকলা (Sector) এর সংজ্ঞা
বৃত্তের কেন্দ্র এবং যেকোনো জ্যা দ্বারা বৃত্তের যে অংশ সীমাবদ্ধ থাকে তাকে বৃত্তকলা (Sector) বলা হয়। এটি মূলত বৃত্তের একটি "পিজা স্লাইস" এর মতো অংশ।
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র
মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) এবং কেন্দ্রস্থ কোণ \( \theta \) (রেডিয়ানে)।
সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( \pi r^2 \) এবং কোণ \( 2\pi \) রেডিয়ান।
অনুপাত অনুযায়ী:
রেডিয়ানে কোণের জন্য:
\[ A = \frac{1}{2}r^2\theta \]
ডিগ্রীতে কোণের জন্য:
\[ A = \pi r^2 \times \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \]
২. বৃত্তখণ্ড (Segment) এর ক্ষেত্রফল
বৃত্তের যে অংশ একটি জ্যা এবং চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে তাকে বৃত্তখণ্ড (Segment) বলা হয়।
বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল = বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \( - \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\[ A = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \]
যেখানে \( \theta \) রেডিয়ানে।
এখানে \( \frac{1}{2}r^2\sin\theta \) হলো কেন্দ্র ও জ্যার প্রান্তবিন্দুদের গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।
উদাহরণ ৫:
ব্যাসার্ধ \( 8 \) সেমি এবং কেন্দ্রস্থ কোণ \( \frac{\pi}{4} \) রেডিয়ান বিশিষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ A = \frac{1}{2}r^2\theta \]
\[ = \frac{1}{2} \times 8^2 \times \frac{\pi}{4} \]
\[ = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\pi}{4} \]
\[ = 8\pi \text{ বর্গ সেমি} \]
উদাহরণ ৬:
ব্যাসার্ধ \( 6 \) সেমি বিশিষ্ট একটি বৃত্তে কেন্দ্রস্থ কোণ \( 60^\circ \) দ্বারা অন্তর্লিখিত বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রথমে ডিগ্রীকে রেডিয়ানে রূপান্তর:
\[ 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ রেডিয়ান} \]
বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল:
\[ A = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \]
\[ = \frac{1}{2} \times 36 \times \left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right) \]
\[ = 18 \times \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ = 6\pi - 9\sqrt{3} \text{ বর্গ সেমি} \]
\[ \approx 6(3.1416) - 9(1.732) \approx 18.85 - 15.59 = 3.26 \text{ বর্গ সেমি} \]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
কোণের ঘূর্ণন
বামাবর্তে: ধনাত্ম (+)
ডানাবর্তে: ঋণাত্মক (-)
ডিগ্রী ও রেডিয়ান
\[ 180^\circ = \pi \text{ রেডিয়ান} \]
\[ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান} \]
\[ 1 \text{ রেডিয়ান} = \frac{180^\circ}{\pi} \]
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
\[ s = r\theta \]
(\( \theta \) রেডিয়ানে)
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\[ A = \frac{1}{2}r^2\theta \]
বা
\[ A = \pi r^2 \times \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \]
বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল
\[ A = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \]
মুখস্থ করার তালিকা
- ধনাত্মক কোণ বামাবর্তে, ঋণাত্মক কোণ ডানাবর্তে।
- \( 360^\circ = 2\pi \) রেডিয়ান, \( 180^\circ = \pi \) রেডিয়ান।
- ডিগ্রী থেকে রেডিয়ান: \( \times \frac{\pi}{180} \)
- রেডিয়ান থেকে ডিগ্রী: \( \times \frac{180}{\pi} \)
- চাপের দৈর্ঘ্য: \( s = r\theta \) (শুধুমাত্র রেডিয়ানের জন্য)
- বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল: \( \frac{1}{2}r^2\theta \)
- বৃত্তখণ্ডের ক্ষেত্রফল: বৃত্তকলা \( - \) ত্রিভুজ \( = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) \)