সরলরেখা (Straight Line)
সরলরেখা হলো স্থানাঙ্ক জ্যামিতির মৌলিক ধারণা যা সমতলে সরল পথে বিস্তৃত। এই অধ্যায়ে আমরা সরলরেখার ঢাল (Slope/Gradient), বিভিন্ন শর্তে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের পদ্ধতি যেমন—দুই বিন্দুগামী সমীকরণ, অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ জানা থাকলে সমীকরণ, সাধারণ রূপ (General Form) এবং পরামিতিক সমীকরণ (Parametric Form) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব। এছাড়াও অক্ষের সমান্তরাল বিশেষ রেখাসমূহের ঢাল ও সমীকরণ নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।
সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient of a Straight Line)
ঢালের সংজ্ঞা
কোনো সরলরেখা ঋণাত্মক দিকের \( x \)-অক্ষের সাথে ধনাত্মক দিকে (অ্যান্টিক্লকওয়াইজ) যে কোণ উৎপন্ন করে তার tangent-কে সরলরেখার ঢাল (Slope) বলা হয়। ঢালকে সাধারণত \( m \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যদি কোণ \( \theta \) হয়, তবে:
\[ m = \tan\theta \]
সরলরেখার ঢাল হলো \( y \)-অক্ষের দিকে পরিবর্তনের হার \( x \)-অক্ষের দিকে পরিবর্তনের অনুপাত। অর্থাৎ যখন \( x \) একক বৃদ্ধি পায়, তখন \( y \) কত একক পরিবর্তিত হয় তাই ঢাল নির্দেশ করে।
ঢালের বৈশিষ্ট্য ও ধর্ম
- ধনাত্মক ঢাল: যখন \( \theta \) সূক্ষ্মকোণ (\( 0^\circ < \theta < 90^\circ \)), তখন \( m > 0 \)। রেখা ঊর্ধ্বমুখী (উপরের দিকে উঠেছে)।
- ঋণাত্মক ঢাল: যখন \( \theta \) স্থূলকোণ (\( 90^\circ < \theta < 180^\circ \)), তখন \( m < 0 \)। রেখা নিম্নমুখী (নিচের দিকে নেমেছে)।
- শূন্য ঢাল: যখন \( \theta = 0^\circ \) (অর্থাৎ \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল), তখন \( m = 0 \)।
- অসংজ্ঞায়িত ঢাল: যখন \( \theta = 90^\circ \) (অর্থাৎ \( y \)-অক্ষের সমান্তরাল), তখন \( m = \tan 90^\circ = \infty \) (অসংজ্ঞায়িত)।
দুই বিন্দুর সংযোগ রেখার ঢাল (Slope of Line Joining Two Points)
ধরা যাক, দুটি বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) দিয়ে একটি সরলরেখা গমন করে। এই রেখার ঢাল নির্ণয়ের সূত্র:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{কোটির পার্থক্য}}{\text{ভুজের পার্থক্য}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
যেখানে \( x_1 \neq x_2 \)।
অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল
- \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখা: \( m = 0 \), সমীকরণ \( y = k \) (যেখানে \( k \) ধ্রুব)
- \( y \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখা: \( m = \infty \) (অসংজ্ঞায়িত), সমীকরণ \( x = h \) (যেখানে \( h \) ধ্রুব)
উদাহরণ ১ (ঢাল নির্ণয়):
বিন্দু \( (2, 3) \) এবং \( (5, 9) \) এর সংযোগ রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \]
সুতরাং ঢাল \( 2 \) এবং কোণ \( \theta = \tan^{-1}(2) \approx 63.43^\circ \)।
উদাহরণ ২ (কোণ নির্ণয়):
দেখাও যে বিন্দু \( (1, 2) \), \( (3, 6) \) এবং \( (5, 10) \) সরলরেখিক।
সমাধান:
প্রথম ও দ্বিতীয় বিন্দুর সংযোগ রেখার ঢাল:
\[ m_1 = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2 \]
দ্বিতীয় ও তৃতীয় বিন্দুর সংযোগ রেখার ঢাল:
\[ m_2 = \frac{10-6}{5-3} = \frac{4}{2} = 2 \]
যেহেতু \( m_1 = m_2 \), সুতরাং তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সরলরেখার বিভিন্ন রূপে সমীকরণ (Equations of Straight Line)
সরলরেখার সমীকরণ বিভিন্ন শর্তের উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন রূপে প্রকাশ করা যায়। নিচে প্রধান কয়েকটি রূপের আলোচনা করা হলো:
১. দুই বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ (Two-Point Form)
ধরা যাক, একটি সরলরেখা দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) দিয়ে যায়। রেখার ঢাল \( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)।
বিন্দু \( (x_1, y_1) \) গামী এবং ঢাল \( m \) বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ (Point-Slope Form):
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
এখন \( m \) এর মান বসিয়ে পাই:
দুই বিন্দুগামী রূপ:
\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]
বা সমমিতিক (Symmetric) রূপে:
\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]
বা:
\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]
উদাহরণ ৩:
বিন্দু \( (2, 3) \) এবং \( (4, 7) \) দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \frac{y - 3}{7 - 3} = \frac{x - 2}{4 - 2} \]
\[ \frac{y - 3}{4} = \frac{x - 2}{2} \]
\[ y - 3 = 2(x - 2) \]
\[ y - 3 = 2x - 4 \]
\[ 2x - y - 1 = 0 \]
বা \( y = 2x - 1 \)
২. অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ জানা থাকলে (Intercept Form)
ধরা যাক, একটি সরলরেখা \( x \)-অক্ষকে \( a \) একক এবং \( y \)-অক্ষকে \( b \) একক দূরত্বে খণ্ডিত করে। অর্থাৎ রেখাটি \( (a, 0) \) এবং \( (0, b) \) বিন্দু দিয়ে যায়। এখানে \( a \) কে \( x \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ (x-intercept) এবং \( b \) কে \( y \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ (y-intercept) বলা হয়।
দুই বিন্দুগামী রূপ থেকে:
খন্ডিত অংশের রূপ:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
যেখানে \( a \neq 0 \) এবং \( b \neq 0 \)।
উদাহরণ ৪:
যে সরলরেখা \( x \)-অক্ষকে \( 3 \) একক এবং \( y \)-অক্ষকে \( 4 \) এককে খণ্ডিত করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে \( a = 3 \), \( b = 4 \)
\[ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \]
\[ \frac{4x + 3y}{12} = 1 \]
\[ 4x + 3y = 12 \]
\[ 4x + 3y - 12 = 0 \]
৩. সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ (General Equation)
যেকোনো সরলরেখার সমীকরণকে প্রথম ঘাতের \( x \) ও \( y \) এর সমীকরণ হিসেবে লেখা যায়। এটিকে সরলরেখার সাধারণ রূপ (General Form) বলা হয়।
সাধারণ রূপ:
\[ ax + by + c = 0 \]
যেখানে \( a, b, c \) বাস্তব সংখ্যা এবং \( a \) ও \( b \) একই সাথে শূন্য নয় (\( a^2 + b^2 \neq 0 \))।
সাধারণ রূপ থেকে বিশেষ তথ্য নির্ণয়:
- ঢাল: \( m = -\frac{a}{b} \) (যখন \( b \neq 0 \))
- \( x \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ: \( -\frac{c}{a} \) (যখন \( a \neq 0 \))
- \( y \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ: \( -\frac{c}{b} \) (যখন \( b \neq 0 \))
উদাহরণ ৫:
সরলরেখা \( 3x - 4y + 12 = 0 \) এর ঢাল এবং অক্ষদ্বয়ের খন্ডিত অংশ নির্ণয় কর।
সমাধান:
তুলনা করে \( a = 3, b = -4, c = 12 \)
ঢাল:
\[ m = -\frac{a}{b} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} \]
\( x \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ:
\[ a = -\frac{c}{a} = -\frac{12}{3} = -4 \]
(ঋণাত্মক মানের অর্থ রেখা \( x \)-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে খণ্ডিত করেছে)
\( y \)-অক্ষের খন্ডিত অংশ:
\[ b = -\frac{c}{b} = -\frac{12}{-4} = 3 \]
৪. সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণ (Parametric Equation)
কখনো কখনো সরলরেখার সমীকরণকে একটি পরামিতি (Parameter) এর সাহায্যে প্রকাশ করা সুবিধাজনক। ধরা যাক, রেখাটি বিন্দু \( (x_1, y_1) \) দিয়ে যায় এবং ঢাল \( m = \tan\theta \) যেখানে \( \theta \) রেখাটি \( x \)-অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ।
রেখার উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু \( (x, y) \) এর জন্য, যদি বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে দূরত্ব \( r \) হয়, তবে:
পরামিতিক রূপ:
\[ \frac{x - x_1}{\cos\theta} = \frac{y - y_1}{\sin\theta} = r \]
বা,
\[ x = x_1 + r\cos\theta \]
\[ y = y_1 + r\sin\theta \]
যেখানে \( r \) একটি পরামিতি যা বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে যেকোনো দূরত্ব নির্দেশ করে।
যদি দুটি বিন্দু \( A(x_1, y_1) \) এবং \( B(x_2, y_2) \) দিয়ে রেখাটি যায় এবং \( P(x, y) \) রেখাটির উপর এমন বিন্দু যে \( AP:PB = \lambda:1 \), তবে পরামিতিক রূপ:
\[ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \]
যেখানে \( \lambda \) পরামিতি এবং \( \lambda \neq -1 \)।
উদাহরণ ৬:
বিন্দু \( (1, 2) \) দিয়ে যাওয়া এবং \( x \)-অক্ষের সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্য করে এমন সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণ লেখ।
সমাধান:
এখানে \( \theta = 60^\circ \), সুতরাং \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[ x = 1 + r \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{r}{2} \]
\[ y = 2 + r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \frac{r\sqrt{3}}{2} \]
যেখানে \( r \) পরামিতি।
কার্তেসীয় সমীকরণ:
\[ \frac{x-1}{\frac{1}{2}} = \frac{y-2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ \sqrt{3}(x-1) = y-2 \]
\[ \sqrt{3}x - y + 2 - \sqrt{3} = 0 \]
বিশেষ ক্ষেত্রে সমীকরণ (Special Cases)
১. মূলবিন্দুগামী সরলরেখা (Line Through Origin)
যদি সরলরেখা মূলবিন্দু \( (0, 0) \) দিয়ে যায়, তবে \( c = 0 \) হবে এবং সমীকরণ:
\[ y = mx \]
বা \( ax + by = 0 \)
২. অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা
- \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল: \( y = k \) বা \( y - k = 0 \) (ঢাল \( m = 0 \))
- \( y \)-অক্ষের সমান্তরাল: \( x = h \) বা \( x - h = 0 \) (ঢাল অসংজ্ঞায়িত)
৩. কোণ সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisectors)
দুটি সরলরেখা \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) এবং \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) এর মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
\[ \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]
ধনাত্মক চিহ্ন এক কোণ এবং ঋণাত্মক চিহ্ন অন্য কোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করে।
সমীকরণের রূপান্তর (Reduction of General Form)
সাধারণ রূপ \( ax + by + c = 0 \) থেকে বিভিন্ন বিশেষ রূপে রূপান্তর:
- ঢাল-খন্ডিত রূপ (Slope-Intercept Form): \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \) বা \( y = mx + c' \) যেখানে \( m = -\frac{a}{b} \) এবং \( c' = -\frac{c}{b} \)
- দুই খন্ডিত অংশের রূপ (Intercept Form): \( \frac{x}{-c/a} + \frac{y}{-c/b} = 1 \)
- স্বাভাবিক রূপ (Normal Form): \( x\cos\alpha + y\sin\alpha = p \) যেখানে \( p \) মূলবিন্দু থেকে লম্ব দূরত্ব এবং \( \alpha \) লম্বের কোণ।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
ঢাল
\[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \tan\theta \]
দুই বিন্দুগামী
\[ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \]
খন্ডিত অংশ
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
সাধারণ রূপ
\[ ax + by + c = 0 \]
ঢাল \( = -\frac{a}{b} \)
পরামিতিক রূপ
\[ x = x_1 + r\cos\theta \]
\[ y = y_1 + r\sin\theta \]
বিন্দু-ঢাল রূপ
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
গুরুত্বপূর্ণ নিয়মাবলী
- দুই বিন্দুর সংযোগ রেখার ঢাল \( = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
- \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল \( 0 \), \( y \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত।
- সাধারণ রূপ \( ax+by+c=0 \) থেকে ঢাল \( -\frac{a}{b} \)।
- খন্ডিত অংশের রূপে \( x \) এর নিচে \( x \)-খন্ডিত অংশ, \( y \) এর নিচে \( y \)-খন্ডিত অংশ।
- পরামিতিক রূপে \( r \) দূরত্ব নির্দেশ করে এবং \( \cos\theta, \sin\theta \) দিক নির্দেশ করে।
- যেকোনো রূপকে সাধারণ রূপে রূপান্তর করা যায়।