বিন্দুর অবস্থান, দূরত্ব, কোণ সমদ্বিখণ্ডক ও ভরকেন্দ্র
এই অধ্যায়ে আমরা সরলরেখার সাপেক্ষে বিভিন্ন বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের পদ্ধতি, অর্থাৎ কোনো বিন্দু সরলরেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত কিনা বা বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত তা নির্ণয় করব। এছাড়াও বিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র ও প্রয়োগ, দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্ণয়ের পদ্ধতি এবং ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া থাকলে ভরকেন্দ্র (কেন্দ্রক) নির্ণয়ের সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হবে।
সরলরেখার একই পার্শ্ব ও বিপরীত পার্শ্বের বিন্দু (Position of Points Relative to a Line)
বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের শর্ত
ধরা যাক, একটি সরলরেখার সমীকরণ \( ax + by + c = 0 \) এবং সমতলের দুটি বিন্দু \( P(x_1, y_1) \) ও \( Q(x_2, y_2) \)। যদি আমরা এই বিন্দুদুটির স্থানাঙ্ক সরলরেখার সমীকরণের বামপক্ষে \( f(x, y) = ax + by + c \) এ বসিয়ে দুটি মান পাই, তবে এই মানগুলোর চিহ্ন (sign) দ্বারা বিন্দুদুটির অবস্থান নির্ধারণ করা যায়।
অবস্থান নির্ণয়ের নিয়ম:
- একই পার্শ্বে অবস্থান: যদি \( ax_1 + by_1 + c \) এবং \( ax_2 + by_2 + c \) এর চিহ্ন একই হয় (উভয়ই ধনাত্মক বা উভয়ই ঋণাত্মক), তবে বিন্দুদুটি সরলরেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত।
- বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান: যদি উপরোক্ত রাশিদুটির চিহ্ন বিপরীত হয় (একটি ধনাত্মক, অন্যটি ঋণাত্মক), তবে বিন্দুদুটি সরলরেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত।
- রেখার উপর অবস্থান: যদি \( ax_1 + by_1 + c = 0 \) হয়, তবে বিন্দুটি সরলরেখার উপর অবস্থিত।
ব্যাখ্যা ও যুক্তি
\( f(x, y) = ax + by + c \) একটি দ্বিচলক ফাংশন যা সমতলকে তিনটি অঞ্চলে বিভক্ত করে—রেখার একদিকে যেখানে \( f(x,y) > 0 \), রেখার অপরদিকে যেখানে \( f(x,y) < 0 \), এবং রেখার উপর যেখানে \( f(x,y) = 0 \)। যদি দুটি বিন্দুর জন্য \( f(x,y) \) এর মান একই চিহ্নের হয়, তবে তারা একই অঞ্চলে (একই পার্শ্বে) আছে।
মূলবিন্দুর অবস্থান পরীক্ষা
মূলবিন্দু \( (0, 0) \) এর জন্য \( f(0,0) = c \)। সুতরাং:
- যদি \( c > 0 \) হয়, মূলবিন্দু \( ax + by + c = 0 \) রেখার সেই পার্শ্বে আছে যেখানে \( f(x,y) \) ধনাত্মক।
- যদি \( c < 0 \) হয়, মূলবিন্দু \( f(x,y) \) ঋণাত্মক পার্শ্বে আছে।
- যদি \( c = 0 \) হয়, রেখাটি মূলবিন্দুগামী।
উদাহরণ ১ (অবস্থান পরীক্ষা):
বিন্দু \( (1, 2) \) ও \( (3, 4) \), সরলরেখা \( 2x - 3y + 5 = 0 \) এর একই পার্শ্বে নাকি বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত তা নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, \( f(x, y) = 2x - 3y + 5 \)
বিন্দু \( (1, 2) \) এর জন্য:
\[ f(1, 2) = 2(1) - 3(2) + 5 = 2 - 6 + 5 = 1 > 0 \]
বিন্দু \( (3, 4) \) এর জন্য:
\[ f(3, 4) = 2(3) - 3(4) + 5 = 6 - 12 + 5 = -1 < 0 \]
যেহেতু চিহ্ন বিপরীত (একটি ধনাত্মক, একটি ঋণাত্মক), সুতরাং বিন্দুদুটি সরলরেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত।
উদাহরণ ২ (মূলবিন্দুর পার্শ্ব নির্ণয়):
দেখাও যে বিন্দু \( (2, 3) \) ও মূলবিন্দু \( (0, 0) \), সরলরেখা \( 3x + 4y - 20 = 0 \) এর একই পার্শ্বে অবস্থিত।
সমাধান:
ধরি, \( f(x, y) = 3x + 4y - 20 \)
\( (2, 3) \) এর জন্য: \( f(2, 3) = 6 + 12 - 20 = -2 < 0 \)
\( (0, 0) \) এর জন্য: \( f(0, 0) = -20 < 0 \)
উভয়ের চিহ্ন ঋণাত্মক, সুতরাং একই পার্শ্বে অবস্থিত।
বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব (Distance from a Point to a Line)
দূরত্বের সূত্র
সমতলের যেকোনো বিন্দু \( (x_1, y_1) \) থেকে সরলরেখা \( ax + by + c = 0 \) এর লম্ব দূরত্ব (Perpendicular Distance) নির্ণয়ের সূত্র:
\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
যেখানে \( | \cdot | \) নিরপেক্ষ মান (absolute value) নির্দেশ করে।
সূত্রের বিশ্লেষণ
- লব (Numerator): \( |ax_1 + by_1 + c| \) হলো বিন্দুটি সরলরেখার সমীকরণে বসিয়ে প্রাপ্ত মানের নিরপেক্ষ মান। এটি বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভরশীল।
- হর (Denominator): \( \sqrt{a^2 + b^2} \) হলো সরলরেখার স্বাভাবিকীকরণ গুণক (normalizing factor)। এটি রেখার ঢালের সাথে সম্পর্কিত।
দুই সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব
যদি দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হয়, অর্থাৎ \( ax + by + c_1 = 0 \) এবং \( ax + by + c_2 = 0 \) (লক্ষ্য করুন \( a \) ও \( b \) একই, শুধু \( c \) ভিন্ন), তবে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
\[ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
যুক্তি: প্রথম রেখার উপর যেকোনো বিন্দু \( (x_1, y_1) \) নিয়ে, যেন \( ax_1 + by_1 = -c_1 \), তা দ্বিতীয় রেখা থেকে দূরত্ব সূত্রে বসালে উপরের সূত্র পাওয়া যায়।
উদাহরণ ৩ (বিন্দু থেকে দূরত্ব):
বিন্দু \( (4, -3) \) থেকে সরলরেখা \( 3x - 4y + 10 = 0 \) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে \( a = 3, b = -4, c = 10 \) এবং \( (x_1, y_1) = (4, -3) \)
\[ d = \frac{|3(4) + (-4)(-3) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \]
\[ = \frac{|12 + 12 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} \]
\[ = \frac{|34|}{\sqrt{25}} = \frac{34}{5} = 6.8 \text{ একক} \]
উদাহরণ ৪ (সমান্তরাল রেখার মধ্যকার দূরত্ব):
\( 3x + 4y - 10 = 0 \) এবং \( 3x + 4y + 5 = 0 \) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে \( c_1 = -10, c_2 = 5 \) (বা উল্টো, তবে নিরপেক্ষ মান বলে একই ফল)
\[ d = \frac{|-10 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-15|}{5} = \frac{15}{5} = 3 \text{ একক} \]
দূরত্বের চিহ্ন ও নির্দিষ্ট পার্শ্ব নির্ণয়
যদি নিরপেক্ষ মান না নেওয়া হয়, তবে \( \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) এর চিহ্ন দ্বারা বোঝা যায় বিন্দুটি রেখার কোন পার্শ্বে অবস্থিত:
- ধনাত্মক মান: এক পার্শ্বে
- ঋণাত্মক মান: বিপরীত পার্শ্বে
সাধারণত মূলবিন্দুর সাপেক্ষে পার্শ্ব নির্ধারণ করা হয়। যদি \( c > 0 \) হয়, তবে মূলবিন্দুর পার্শ্বে দূরত্ব \( \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \) ধনাত্মক ধরা হয় এবং বিপরীত পার্শ্বে ঋণাত্মক।
দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisectors)
সমদ্বিখণ্ডকের সংজ্ঞা
দুটি সরলরেখা যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই ছেদবিন্দু থেকে প্রতিটি রেখার উপর সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুর সঞ্চারপথই হলো ওই দুই রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisector)। প্রতি দুই রেখার জন্য দুটি সমদ্বিখণ্ডক থাকে—একটি সূক্ষ্মকোণের এবং একটি স্থূলকোণের।
সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ
ধরা যাক দুটি সরলরেখা:
\[ L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \]
\[ L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \]
যেকোনো বিন্দু \( (x, y) \) সমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত হলে, এটি দুই রেখা থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত হবে। সুতরাং:
সমদ্বিখণ্ডকের সূত্র:
\[ \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]
এখানে ধনাত্মক চিহ্ন \( (+) \) এবং ঋণাত্মক চিহ্ন \( (-) \) দ্বারা দুটি ভিন্ন সমদ্বিখণ্ডক পাওয়া যায়।
সূক্ষ্মকোণ ও স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্ণয়
দুটি সমদ্বিখণ্ডক পরস্পরের উপর লম্ব। যে সমদ্বিখণ্ডক মূলবিন্দুকে সূক্ষ্মকোণের মধ্যে রাখে (অর্থাৎ মূলবিন্দুর জন্য চিহ্ন একই), তা সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক।
যদি \( a_1a_2 + b_1b_2 > 0 \) হয়, তবে:
- \( \frac{L_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = + \frac{L_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \) হলে স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক
- \( \frac{L_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = - \frac{L_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \) হলে সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক
যদি \( a_1a_2 + b_1b_2 < 0 \) হয়, তবে চিহ্নগুলো উল্টো হয়ে যায়।
বিশেষ ক্ষেত্র: মূলবিন্দুগামী সমদ্বিখণ্ডক
যদি দুটি রেখা মূলবিন্দুতে ছেদ করে (অর্থাৎ \( c_1 = c_2 = 0 \)), তবে সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ সরল হয়:
\[ \frac{a_1x + b_1y}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]
উদাহরণ ৫ (সমদ্বিখণ্ডক নির্ণয়):
\( 3x + 4y - 7 = 0 \) এবং \( 4x - 3y + 2 = 0 \) রেখাদ্বয়ের কোণ সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রথম রেখার স্বাভাবিকীকরণ গুণক: \( \sqrt{3^2+4^2} = 5 \)
দ্বিতীয় রেখার স্বাভাবিকীকরণ গুণক: \( \sqrt{4^2+(-3)^2} = 5 \)
সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
\[ \frac{3x + 4y - 7}{5} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5} \]
ক্ষেত্র ১ (ধনাত্মক চিহ্ন):
\[ 3x + 4y - 7 = 4x - 3y + 2 \]
\[ -x + 7y - 9 = 0 \]
\[ x - 7y + 9 = 0 \]
ক্ষেত্র ২ (ঋণাত্মক চিহ্ন):
\[ 3x + 4y - 7 = -(4x - 3y + 2) \]
\[ 3x + 4y - 7 = -4x + 3y - 2 \]
\[ 7x + y - 5 = 0 \]
সুতরাং দুটি সমদ্বিখণ্ডক: \( x - 7y + 9 = 0 \) এবং \( 7x + y - 5 = 0 \)
যাচাই: দুটি সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব কিনা পরীক্ষা করুন। ঢালের গুণফল \( \frac{1}{7} \times (-7) = -1 \) ✓
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া থাকলে ভরকেন্দ্র নির্ণয় (Centroid of a Triangle)
ভরকেন্দ্রের সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্য
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা (median) পরস্পর যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (Centroid) বা কেন্দ্রক বলা হয়। মধ্যমা হলো একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী রেখা।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে ভরকেন্দ্রের সূত্র
ধরা যাক, ত্রিভুজ \( ABC \) এর তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) এবং \( C(x_3, y_3) \)।
প্রমাণ ও নির্ণয়:
প্রথমে \( BC \) বাহুর মধ্যবিন্দু \( D \) নির্ণয় করি:
\[ D = \left( \frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2} \right) \]
এখন \( A \) থেকে \( D \) পর্যন্ত মধ্যমা \( AD \) উপর ভরকেন্দ্র \( G \) অবস্থিত যা \( AD \) কে \( 2:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভুক্ত করে। অন্তর্বিভাজন সূত্র প্রয়োগ করে:
\[ x_G = \frac{2 \cdot \frac{x_2+x_3}{2} + 1 \cdot x_1}{2+1} = \frac{x_2+x_3+x_1}{3} = \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \]
\[ y_G = \frac{2 \cdot \frac{y_2+y_3}{2} + 1 \cdot y_1}{2+1} = \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \]
ভরকেন্দ্রের সূত্র:
\[ G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \]
ভাষায়: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের গড় (Arithmetic Mean)।
ত্রিভুজের অন্যান্য কেন্দ্র (সংক্ষিপ্ত)
সম্পূর্ণতার জন্য অন্যান্য কেন্দ্রসমূহের সূত্র:
- অন্তঃকেন্দ্র (Incenter): \( \left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right) \), যেখানে \( a, b, c \) যথাক্রমে \( BC, CA, AB \) বাহুর দৈর্ঘ্য।
- পরিকেন্দ্র (Circumcenter): বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু।
- লম্বকেন্দ্র (Orthocenter): শীর্ষলম্বের ছেদবিন্দু।
উদাহরণ ৬ (ভরকেন্দ্র নির্ণয়):
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো \( (-1, 0) \), \( (5, -2) \) এবং \( (2, 3) \) হলে এর কেন্দ্রকের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, \( (x_1, y_1) = (-1, 0) \), \( (x_2, y_2) = (5, -2) \), \( (x_3, y_3) = (2, 3) \)
\[ x_G = \frac{-1 + 5 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]
\[ y_G = \frac{0 + (-2) + 3}{3} = \frac{1}{3} \]
সুতরাং ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( \left( 2, \frac{1}{3} \right) \)।
উদাহরণ ৭ (মধ্যমার উপর ভরকেন্দ্র):
দেখাও যে কোনো ত্রিভুজের দুটি মধ্যমা যদি সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমাধান (সংক্ষিপ্ত):
ধরি ত্রিভুজ \( ABC \) যেখানে \( AB = c \), \( BC = a \), \( CA = b \)।
\( A \) হতে মধ্যমার দৈর্ঘ্য \( m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \)
\( B \) হতে মধ্যমার দৈর্ঘ্য \( m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2} \)
যদি \( m_a = m_b \) হয়, তবে:
\[ 2b^2+2c^2-a^2 = 2a^2+2c^2-b^2 \]
\[ 2b^2 - a^2 = 2a^2 - b^2 \]
\[ 3b^2 = 3a^2 \Rightarrow a = b \]
সুতরাং \( BC = CA \), অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
একই পার্শ্ব/বিপরীত পার্শ্ব
\( ax_1+by_1+c \) এর চিহ্ন পরীক্ষা
একই চিহ্ন = একই পার্শ্ব
বিপরীত চিহ্ন = বিপরীত পার্শ্ব
বিন্দু থেকে দূরত্ব
\[ d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
সমান্তরাল রেখার মধ্যকার দূরত্ব
\[ d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
কোণ সমদ্বিখণ্ডক
\[ \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}} \]
ভরকেন্দ্র
\[ \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \]
শীর্ষ স্থানাঙ্কের গড়