সমতলে কার্তেসিও ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Coordinates)
সরলরেখা অধ্যয়ের প্রাথমিক ধারণা হলো স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা। এই অধ্যায়ে আমরা দ্বি-মাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Two Dimensional Cartesian Coordinate System) এবং পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Polar Coordinate System) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব। এছাড়াও এই দুটি ব্যবস্থার মধ্যে সম্পর্ক, রূপান্তর সূত্র এবং দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের পদ্ধতি উভয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় শেখা হবে।
দ্বি-মাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Two Dimensional Cartesian Coordinate System)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের সংজ্ঞা ও গঠন
ফরাসি গণিতবিদ রেনে দেকার্ত (René Descartes) কর্তৃক প্রবর্তিত এই পদ্ধতিতে একটি সমতলকে দুটি পরস্পর লম্ব রেখার সাহায্যে বিভক্ত করা হয়। এই দুটি রেখাকে অক্ষ (Axes) বলা হয়।
মূল উপাদানসমূহ:
- ভূমি রেখা বা x-অক্ষ (X-axis): অনুভূমিক রেখা, ডানদিকে ধনাত্মক এবং বামদিকে ঋণাত্মক।
- কোটি রেখা বা y-অক্ষ (Y-axis): উলম্ব রেখা, উপরের দিকে ধনাত্মক এবং নিচের দিকে ঋণাত্মক।
- মূল বিন্দু বা উৎস (Origin): দুটি অক্ষের ছেদবিন্দু, স্থানাঙ্ক \( (0, 0) \)।
- চতুর্ভাগ (Quadrants): দুটি অক্ষ সমতলকে চারটি চতুর্ভাগে বিভক্ত করে:
- প্রথম চতুর্ভাগ: \( x > 0, y > 0 \)
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: \( x < 0, y > 0 \)
- তৃতীয় চতুর্ভাগ: \( x < 0, y < 0 \)
- চতুর্থ চতুর্ভাগ: \( x > 0, y < 0 \)
বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়
সমতলের যেকোনো বিন্দু \( P \) এর অবস্থান দুটি স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্দেশিত হয়:
- ভুজ (Abscissa) বা x-স্থানাঙ্ক: বিন্দু \( P \) থেকে \( y \)-অক্ষের উপর লম্ব দূরত্ব। এটি \( x \)-অক্ষের উপর বিন্দুটির ছায়াপাতের দূরত্ব।
- কোটি (Ordinate) বা y-স্থানাঙ্ক: বিন্দু \( P \) থেকে \( x \)-অক্ষের উপর লম্ব দূরত্ব। এটি \( y \)-অক্ষের উপর বিন্দুটির ছায়াপাতের দূরত্ব।
সুতরাং বিন্দু \( P \) এর স্থানাঙ্ক লেখা হয় \( (x, y) \) আকারে, যেখানে \( x \) ভুজ এবং \( y \) কোটি।
উদাহরণ ১:
বিন্দু \( A(3, 4) \) অবস্থিত প্রথম চতুর্ভাগে কারণ \( x = 3 > 0 \) এবং \( y = 4 > 0 \)।
বিন্দু \( B(-2, 5) \) অবস্থিত দ্বিতীয় চতুর্ভাগে কারণ \( x = -2 < 0 \) এবং \( y = 5 > 0 \)।
বিন্দু \( C(-3, -4) \) অবস্থিত তৃতীয় চতুর্ভাগে।
বিন্দু \( D(2, -3) \) অবস্থিত চতুর্থ চতুর্ভাগে।
বিশেষ বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক
- মূল বিন্দু: \( (0, 0) \)
- x-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দু: \( (x, 0) \), যেকোনো বাস্তব \( x \) এর জন্য
- y-অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দু: \( (0, y) \), যেকোনো বাস্তব \( y \) এর জন্য
- প্রথম ও তৃতীয় কোণের সমীকরণ রেখা (y = x): \( (a, a) \) আকারের বিন্দু
- দ্বিতীয় ও চতুর্থ কোণের সমীকরণ রেখা (y = -x): \( (a, -a) \) আকারের বিন্দু
পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (Polar Coordinate System)
পোলার স্থানাঙ্কের সংজ্ঞা
কার্তেসীয় পদ্ধতিতে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য দুটি লম্ব দূরত্ব \( x \) এবং \( y \) জানা প্রয়োজন। কিন্তু পোলার পদ্ধতিতে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে কোণ জানা প্রয়োজন।
পোলার স্থানাঙ্কের মূল উপাদান:
- মেরু বা কেন্দ্র (Pole): একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( O \), সাধারণত মূল বিন্দুর সাথে মিলিয়ে নেওয়া হয়।
- প্রারম্ভিক রেখা বে বুরু রেখা (Initial Line): মেরু \( O \) দিয়ে যাওয়া একটি নির্দিষ্ট রেখা \( OX \), সাধারণত ধনাত্মক \( x \)-অক্ষের সাথে মিলিয়ে নেওয়া হয়।
- ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector) বা মেরু দূরত্ব \( r \): মেরু \( O \) থেকে বিন্দু \( P \) পর্যন্ত সরলরেখিক দূরত্ব। সুতরাং \( r = |OP| \geq 0 \)।
- বিন্দুগামী কোণ বা ভেক্টোরিয়াল অ্যাঙ্গেল \( \theta \): প্রারম্ভিক রেখা \( OX \) এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টর \( OP \) এর মধ্যবর্তী কোণ। সাধারণত রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয় এবং ধনাত্মক দিক হলো বামাবর্তে (অ্যান্টিক্লকওয়াইজ) দিক।
পোলার স্থানাঙ্কের চিহ্নিতকরণ
কোনো বিন্দু \( P \) এর পোলার স্থানাঙ্ক লেখা হয় \( (r, \theta) \) আকারে।
- পোলার স্থানাঙ্কে একটি বিন্দু অসীম সংখ্যকভাবে প্রকাশ করা যায়। যেমন: \( (r, \theta) = (r, \theta + 2n\pi) \) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \( n \) এর জন্য।
- ঋণাত্মক \( r \): যদি \( r < 0 \) হয়, তবে বিন্দুটি \( \theta \) কোণের বিপরীত দিকে \( |r| \) দূরত্বে অবস্থিত। অর্থাৎ \( (-r, \theta) = (r, \theta + \pi) \)।
- মেরু বিন্দুর স্থানাঙ্ক: \( (0, \theta) \) যেকোনো \( \theta \) এর জন্য, কারণ কোণ নির্দিষ্ট নয়।
পোলার স্থানাঙ্কের সীমাবদ্ধতা ও সুবিধা
সাধারণত আমরা \( r \geq 0 \) এবং \( 0 \leq \theta < 2\pi \) বা \( -\pi < \theta \leq \pi \) ধরে নিই যাতে প্রতিটি বিন্দু (মেরু ব্যতীত) এককভাবে নির্দেশিত হয়।
- সুবিধা: বৃত্ত, সর্পিল, হৃদয়াকৃতি জাতীয় বক্ররেখার সমীকরণ পোলার পদ্ধতিতে সহজ হয়।
- সীমাবদ্ধতা: সরলরেখার সমীকরণ কার্তেসীয় পদ্ধতিতে সহজ।
কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক (Transformation of Coordinates)
ধরা যাক, একটি সমতলে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মূলবিন্দু \( O \) এবং পোলার স্থানাঙ্কের মেরু একই বিন্দুতে অবস্থিত। আবার কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ধনাত্মক \( x \)-অক্ষ \( OX \) এবং পোলার স্থানাঙ্কের প্রারম্ভিক রেখা একই রেখায় অবস্থিত।
সমতলের যেকোনো বিন্দু \( P \) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এবং পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) হলে, ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করে আমরা নিচের সম্পর্কগুলি পাই:
পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর (Polar to Cartesian)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে:
\[ x = r \cos\theta \]
\[ y = r \sin\theta \]
কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর (Cartesian to Polar)
পাইথাগোরাসের উপপাদ্য এবং ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে:
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\[ \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) \]
বা,
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \]
- প্রথম চতুর্ভাগ \( (x>0, y>0) \): \( \theta = \tan^{-1}(y/x) \)
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ \( (x<0, y>0) \): \( \theta = \pi + \tan^{-1}(y/x) \) বা \( \theta = \tan^{-1}(y/x) + 180^\circ \)
- তৃতীয় চতুর্ভাগ \( (x<0, y<0) \): \( \theta = \pi + \tan^{-1}(y/x) \) বা \( \theta = \tan^{-1}(y/x) - 180^\circ \)
- চতুর্থ চতুর্ভাগ \( (x>0, y<0) \): \( \theta = 2\pi + \tan^{-1}(y/x) \) বা \( \theta = \tan^{-1}(y/x) \) (ঋণাত্মক মান হলে \( 360^\circ \) যোগ করতে হবে)
বিকল্পভাবে \( \cos\theta = \frac{x}{r} \) এবং \( \sin\theta = \frac{y}{r} \) ব্যবহার করে চতুর্ভাগ অনুযায়ী \( \theta \) নির্ণয় করা নিরাপদ।
রূপান্তরের বিশেষ ক্ষেত্র
- যদি \( x = 0 \) এবং \( y > 0 \) হয়, তবে \( \theta = \frac{\pi}{2} \) বা \( 90^\circ \)
- যদি \( x = 0 \) এবং \( y < 0 \) হয়, তবে \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) বা \( -\frac{\pi}{2} \) বা \( 270^\circ \)
- যদি \( x = 0 \) এবং \( y = 0 \) হয়, তবে \( r = 0 \) এবং \( \theta \) অসংজ্ঞায়িত (মেরু বিন্দু)
উদাহরণ ২ (পোলার থেকে কার্তেসীয়):
পোলার স্থানাঙ্ক \( \left( 4, \frac{\pi}{3} \right) \) বিশিষ্ট বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে: \( r = 4 \), \( \theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \)
আমরা জানি:
\[ x = r\cos\theta = 4 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \]
\[ y = r\sin\theta = 4 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]
সুতরাং কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক: \( (2, 2\sqrt{3}) \)
উদাহরণ ৩ (কার্তেসীয় থেকে পোলার):
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (-1, \sqrt{3}) \) বিশিষ্ট বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে: \( x = -1 \), \( y = \sqrt{3} \)
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]
\[ \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3} \]
যেহেতু \( x < 0 \) এবং \( y > 0 \), বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\[ \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \text{ বা } -60^\circ \]
দ্বিতীয় চতুর্ভাগের কোণ: \( \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) বা \( 120^\circ \)
সুতরাং পোলার স্থানাঙ্ক: \( \left( 2, \frac{2\pi}{3} \right) \)
যাচাই: \( x = 2\cos(120^\circ) = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1 \) ✓
\( y = 2\sin(120^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) ✓
দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance Between Two Points)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্বের সূত্র
ধরা যাক, সমতলে দুটি বিন্দু \( P(x_1, y_1) \) এবং \( Q(x_2, y_2) \) অবস্থিত। এই দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \( d \) নির্ণয় করতে হলে আমরা পাইথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করি।
বিন্দু \( P \) এবং \( Q \) এর সংযোগ রেখার উপর লম্বভাবে \( x \)-অক্ষ এবং \( y \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখা টানলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয় যার ভূমি \( |x_2 - x_1| \) এবং উচ্চতা \( |y_2 - y_1| \)।
দূরত্বের সূত্র (Distance Formula):
\[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
বা,
\[ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]
বিশেষ ক্ষেত্র: যদি মূলবিন্দু \( O(0,0) \) এবং অন্য বিন্দু \( P(x, y) \) হয়, তবে দূরত্ব:
\[ OP = \sqrt{x^2 + y^2} \]
পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বের সূত্র
ধরা যাক, দুটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( P(r_1, \theta_1) \) এবং \( Q(r_2, \theta_2) \)। এদের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক:
- \( P: (r_1\cos\theta_1, r_1\sin\theta_1) \)
- \( Q: (r_2\cos\theta_2, r_2\sin\theta_2) \)
কার্তেসীয় দূরত্ব সূত্র প্রয়োগ করে:
পোলার দূরত্ব সূত্র:
\[ PQ = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)} \]
বা,
\[ PQ = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_1 - \theta_2)} \]
সূত্রের ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক সূত্র \( \cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B \) ব্যবহার করে কার্তেসীয় সূত্র থেকে প্রাপ্ত।
- যদি মেরু \( O(0, \text{যেকোনো কোণ}) \) এবং বিন্দু \( P(r, \theta) \) হয়, তবে দূরত্ব \( = r \)।
- যদি দুটি বিন্দু একই ব্যাসার্ধ ভেক্টরের উপর অবস্থিত হয় \( (r_1, \theta) \) এবং \( (r_2, \theta) \), তবে দূরত্ব \( = |r_1 - r_2| \)।
- যদি \( \theta_2 - \theta_1 = 90^\circ \) বা \( \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে \( PQ = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} \) (কারণ \( \cos 90^\circ = 0 \))।
উদাহরণ ৪ (কার্তেসীয় দূরত্ব):
বিন্দু \( A(3, 4) \) এবং \( B(6, 8) \) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ AB = \sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ একক} \]
উদাহরণ ৫ (পোলার দূরত্ব):
পোলার স্থানাঙ্কে দুটি বিন্দু \( P\left( 3, \frac{\pi}{6} \right) \) এবং \( Q\left( 4, \frac{\pi}{3} \right) \) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে: \( r_1 = 3 \), \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \), \( r_2 = 4 \), \( \theta_2 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \)
\[ \theta_2 - \theta_1 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \]
\[ PQ = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos(30^\circ)} \]
\[ = \sqrt{9 + 16 - 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}} \]
\[ = \sqrt{25 - 20.784} = \sqrt{4.216} \approx 2.05 \text{ একক} \]
উদাহরণ ৬ (পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর করে দূরত্ব):
বিন্দু \( P\left( 2, \frac{\pi}{4} \right) \) এবং \( Q\left( 3, \frac{3\pi}{4} \right) \) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কার্তেসীয় পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
সমাধান:
প্রথমে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তর:
বিন্দু \( P \):
\[ x_1 = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
\[ y_1 = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
বিন্দু \( Q \):
\[ x_2 = 3\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \]
\[ y_2 = 3\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
এখন দূরত্ব:
\[ PQ = \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{\frac{25 \times 2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{50 + 2}{4}} = \sqrt{\frac{52}{4}} = \sqrt{13} \text{ একক} \]
দূরত্ব সূত্রের অনুপ্রয়োগ (Applications of Distance Formula)
১. বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজ চিহ্নিতকরণ
তিনটি বিন্দু \( A, B, C \) দেওয়া থাকলে:
- সমবাহু ত্রিভুজ: \( AB = BC = CA \)
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ: যেকোনো দুটি বাহু সমান (যেমন \( AB = BC \neq CA \))
- বিষমবাহু ত্রিভুজ: \( AB \neq BC \neq CA \)
- সমকোণী ত্রিভুজ: পাইথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য \( (AB^2 + BC^2 = CA^2) \)
২. সরলরেখিকতা পরীক্ষা (Test for Collinearity)
তিনটি বিন্দু \( A, B, C \) সরলরেখিক হবে যদি:
\[ AB + BC = AC \]
বা,
\[ AB + BC = AC \text{ (বিন্দু } B \text{, } A \text{ এবং } C \text{ এর মাঝে থাকলে)} \]
৩. চতুর্ভুজের ধরন নির্ণয়
চারটি বিন্দু \( A, B, C, D \) দেওয়া থাকলে:
- বর্গ: সব বাহু সমান এবং কর্ণ সমান \( (AB = BC = CD = DA \text{ এবং } AC = BD) \)
- আয়ত: বিপরীত বাহু সমান এবং কর্ণ সমান \( (AB = CD, BC = DA \text{ এবং } AC = BD) \)
- সামান্তরিক: বিপরীত বাহু সমান \( (AB = CD, BC = DA) \)
- রম্বস: সব বাহু সমান কিন্তু কর্ণ অসমান
উদাহরণ ৭ (ত্রিভুজের ধরন নির্ণয়):
দেখাও যে বিন্দু \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), \( C(7, 2) \) বিষমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
সমাধান:
\[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
\[ BC = \sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
\[ CA = \sqrt{(1-7)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36 + 0} = 6 \]
যেহেতু \( AB = BC = 5 \neq CA = 6 \), সুতরাং এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(উপরের উদাহরণে বিষমবাহু বলা হয়েছিল, কিন্তু হিসাব করে সমদ্বিবাহু প্রমাণিত হলো)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ (Summary)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক
\( (x, y) \)
ভূমি \( x \), কোটি \( y \)
পোলার স্থানাঙ্ক
\( (r, \theta) \)
ব্যাসার্ধ \( r \), কোণ \( \theta \)
পোলার থেকে কার্তেসীয়
\[ x = r\cos\theta \]
\[ y = r\sin\theta \]
কার্তেসীয় থেকে পোলার
\[ r = \sqrt{x^2+y^2} \]
\[ \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x} \]
কার্তেসীয় দূরত্ব
\[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \]
পোলার দূরত্ব
\[ d = \sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)} \]
গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলী
- কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে সমতলকে চারটি চতুর্ভাগে ভাগ করা হয়।
- পোলার স্থানাঙ্কে মেরু থেকে দূরত্ব \( r \geq 0 \) এবং প্রারম্ভিক রেখা থেকে কোণ \( \theta \) নির্দেশ করে।
- রূপান্তরের সময় চতুর্ভাগ নির্ণয় করে \( \theta \) এর মান নির্ধারণ করা জরুরি।
- দূরত্ব সূত্রটি পাইথাগোরাসের উপপাদ্যের সরাসরি প্রয়োগ।
- পোলার দূরত্ব সূত্রে ত্রিকোণমিতিক সূত্র \( \cos(A-B) \) ব্যবহৃত হয়।
- মূলবিন্দু থেকে \( (x,y) \) বিন্দুর দূরত্ব \( \sqrt{x^2+y^2} \)।