ভেক্টরের সংজ্ঞা:

একটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশক রেখাংশকে সদিক রাশি (Directed Line Segment) বলে। যেকোনো ভেক্টরকে একটি সদিক রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায় যার একটি নির্দিষ্ট আদি বিন্দু (Initial Point) ও শেষ বিন্দু (Terminal Point) থাকে।

যদি রেখাংশের আদি বিন্দু \( A \) এবং শেষ বিন্দু \( B \) হয়, তবে এই ভেক্টরকে \( \overrightarrow{AB} \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর মান (magnitude) হলো \( A \) থেকে \( B \) পর্যন্ত দূরত্ব \( |\overrightarrow{AB}| \) বা কেবল \( AB \)।

সমতলে বা ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি নির্দিষ্ট মূল বিন্দু \( O \) (origin) থেকে কোনো বিন্দু \( P \) পর্যন্ত সদিক রেখাংশ \( \overrightarrow{OP} \) কে বিন্দু \( P \) এর অবস্থান ভেক্টর (Position Vector) বলে।

সাধারণত বিন্দু \( P \) এর অবস্থান ভেক্টরকে \( \vec{r} \) বা \( \vec{p} \) দ্বারা সূচিত করা হয়।

যদি দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে \( P(x, y) \) হয়, তবে: \[ \vec{r} = \overrightarrow{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} \] যেখানে \( \hat{i} \) ও \( \hat{j} \) যথাক্রমে \( x \) ও \( y \) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।

মান: \( |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

মান শূন্য এবং দিক অনির্দিষ্ট এমন ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টর বলে। এটিকে \( \vec{0} \) দ্বারা সূচিত করা হয়।

বৈশিষ্ট্য: যেকোনো ভেক্টর \( \vec{a} \) এর জন্য \( \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} \)।

মান এক (1 unit) এমন ভেক্টরকে একক ভেক্টর বলে। \( \vec{a} \) দিকের একক ভেক্টরকে \( \hat{a} \) দ্বারা সূচিত করা হয়।

সূত্র: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \]

সুতরাং যেকোনো ভেক্টরকে তার মান ও একক ভেক্টরের গুণফলরূপে লেখা যায়: \[ \vec{a} = |\vec{a}| \hat{a} \]

একই মান কিন্তু বিপরীত দিক বিশিষ্ট ভেক্টরকে ঋণাত্মক ভেক্টর বলে। \( \vec{a} \) এর ঋণাত্মক ভেক্টর \( -\vec{a} \)।

বৈশিষ্ট্য: \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \)

একই রেখার সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত ভেক্টরগুলোকে সহরেখা ভেক্টর বলে। এরা একে অপরের স্কেলার গুণিতক।

যদি \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) সহরেখা হয়, তবে \( \vec{b} = k\vec{a} \) যেখানে \( k \) একটি স্কেলার।

যে সকল ভেক্টর একই বা বিপরীত দিকে সমান্তরাল, তাদের সমান্তরাল ভেক্টর বলে। ধনাত্মক স্কেলার গুণিতকের ক্ষেত্রে দিক একই থাকে, ঋণাত্মক স্কেলার গুণিতকের ক্ষেত্রে দিক বিপরীত হয়।

যে সকল ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট সমতলে বা সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত থাকে, তাদের সমতলীয় ভেক্টর বলে।

যদি দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) কে এমনভাবে সাজানো যায় যে \( \vec{a} \) এর শেষ বিন্দু \( \vec{b} \) এর আদি বিন্দু হয়, তবে তাদের যোগফল \( \vec{a} + \vec{b} \) হলো \( \vec{a} \) এর আদি বিন্দু থেকে \( \vec{b} \) এর শেষ বিন্দু পর্যন্ত সংযোগকারী ভেক্টর।

যদি \( \overrightarrow{AB} = \vec{a} \) এবং \( \overrightarrow{BC} = \vec{b} \), তবে: \[ \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b} \]

যদি দুটি ভেক্টর একই বিন্দুতে আরম্ভ হয় এবং একটি সামান্তরিকের দুটি সংলগ্ন বাহু হিসেবে অবস্থান করে, তবে তাদের যোগফল হলো ঐ বিন্দু থেকে উক্ত সামান্তরিকের কর্ণ বরাবর সংযোগকারী ভেক্টর।

যদি \( \overrightarrow{OA} = \vec{a} \) এবং \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \), এবং \( OACB \) একটি সামান্তরিক হয়, তবে: \[ \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b} \]

1. বিনিময় সূত্র (Commutative Law): \[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \]
2. সাহচর্য সূত্র (Associative Law): \[ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \]
3. অভেদক (Additive Identity): \[ \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \]
4. বিপরীত ভেক্টর (Additive Inverse): \[ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \]

দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) এর বিয়োগফল সংজ্ঞায়িত হয় যোগের মাধ্যমে: \[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]

অর্থাৎ \( \vec{b} \) এর বিপরীত ভেক্টর \( -\vec{b} \) এর সাথে \( \vec{a} \) যোগ করলে বিয়োগ হয়।

একটি ভেক্টর \( \vec{a} \) কে একটি বাস্তব সংখ্যা (স্কেলার) \( k \) দ্বারা গুণ করলে একটি নতুন ভেক্টর \( k\vec{a} \) পাওয়া যায় যার:

• মান \( = |k| \times |\vec{a}| \)
• দিক \( = \vec{a} \) এর দিকের অনুরূপ যদি \( k > 0 \), এবং বিপরীত যদি \( k < 0 \)

• বণ্টন সূত্র (Distributive Law): \[ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \]
• \[ (k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a} \]
• সাহচর্য সূত্র: \[ k(m\vec{a}) = (km)\vec{a} = m(k\vec{a}) \]
• একক স্কেলার: \[ 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \]
• শূন্য স্কেলার: \[ 0 \cdot \vec{a} = \vec{0} \]

দুটি ভেক্টর \( \vec{a} \) ও \( \vec{b} \) সহরেখা হবে যদি এবং কেবল যদি একটি অশূন্য স্কেলার \( k \) এর জন্য: \[ \vec{b} = k\vec{a} \]

অথবা: \[ m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0} \] যেখানে \( m \) ও \( n \) একসাথে শূন্য নয়।

যদি বিন্দু \( C \), \( AB \) রেখাংশকে অনুপাত \( m:n \) এ অন্তর্বিভাজন করে, তবে \( C \) এর অবস্থান ভেক্টর: \[ \vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n} \]

যদি বিন্দু \( C \), \( AB \) রেখাংশকে অনুপাত \( m:n \) এ বহির্বিভাজন করে, তবে: \[ \vec{c} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n} \]

যখন \( m = n = 1 \) (অর্থাৎ মধ্যবিন্দু): \[ \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \]